Enunciado

No instante t = 0 , uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor. Para que múltiplo da constante de tempo indutiva a energia armazenada no campo magnético do indutor é 0,500 vez o valor final?

Passo 1

E aí, galerinha! 😊

Nesse problema temos uma bateria que é ligada em série a um resistor e um indutor no instante t = 0 s e a partir daí temos que determinar para que múltiplo da constante de tempo indutiva a energia armazenada no campo magnético do indutor é 0,500 vez o valor final

Lembra como fazemos isso? 🤔

Bom, se a bobina está ligada a um resistor e a uma fonte externa, trata-se de um circuito R L com aumento da corrente, que é dada por

i = ε R 1 - e - t τ

Queremos achar o instante de tempo em que a energia armazenada no campo magnético do indutor é igual à metade do valor final.

Veja só! 😉

Passo 2

A energia armazenada no campo da bobina é

U B = 1 2 L i 2

Substituindo a expressão da corrente:

U B = 1 2 L �� 2 R 2 1 - e - t τ 2

Para t → ∞ , temos que

U B → U B f = 1 2 L ε 2 R 2  

Assim, podemos escrever:

U B = U B f 1 - e - t τ 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Bom, queremos achar t para o qual U B = 1 2 U B f . Assim,

1 - e - t τ 2 = 1 2 ⇒ 1 - e - t τ = 1 2

Logo,

e - t τ = 1 - 1 2

Aplicado log dos dois lados:

- t τ = ln ⁡ 1 - 1 2

Assim,

t = - τ ⋅ ln ⁡ 2 - 1 2 = τ ⋅ ln ⁡ 2 2 - 1

Portanto,

t = 1,23 τ

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

t = 1,23 τ

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