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35- ( a ) Aplicando as equações ( 30.21 ) e ( 30.23 ) para um circuito L - C , escreva expressões para a energia armazenada em um capacitor em função do tempo e para a energia armazenada em um indutor em função do tempo.

( b ) Usando a Equação ( 30.22 ) e a identidade trigonométrica s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , mostre que a energia total em um circuito L - C é constante e igual a Q 2 / 2 C

Passo 1

As equações 30.21 e 30.23 nos mostram que:

q = Q c o s ( ω t + ϕ )

i = - ω Q   s e n ( ω t + ϕ )

E a energia armazenada em um capacitor é igual a:

U c a p = 1 2 C V 2

Onde Q = C V → V = Q C , então:

U c a p = Q 2 2 C

Dessa forma, substituindo o valor de Q (que é alternado) nós teremos:

U c a p = Q 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) 2 C

Já energia armazenada em um indutor será:

U i n d = 1 2 L I 2

E como a corrente é alternada nós teremos:

U i n d = 1 2 L ω 2 Q 2   s e n 2 ( ω t + ϕ )

Onde ω = 1 L C , então:

U i n d = 1 2 Q 2 C   s e n 2 ( ω t + ϕ )

Passo 2

Somando as duas energias nós teremos:

U t o t a l = U c a p + U i n d = Q 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) 2 C + Q 2 sen 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) 2 C

U t o t a l = Q 2 2 C s e n 2 ω t + ϕ + cos 2 ⁡ ω t + ϕ

E como cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 para x = ω t + ϕ então a soma das energias nos dois componentes nos dá uma constante igual a:

U t o t a l = Q 2 2 C

O que vai de encontro com a lei da conservação da energia.

Resposta

a )   U c a p = Q 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) 2 C ; U i n d = 1 2 L ω 2 Q 2   s e n 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 Q 2 C   s e n 2 ( ω t + ϕ )

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