Enunciado

Demonstre que o circuito da figura tem duas frequências possíveis de oscilação livre, e calcule os valores dessas frequências.

Passo 1

Para resolvermos, vamos utilizar as leis de Kirchoff para circuitos em série e paralelo, somando as tensões de todo o sistema. Com isso, vamos encontrar nossa corrente que passa pelo capacitor e pelo nosso indutor, aí aplicaremos as seguintes relações

I t = d q t d t ,     V L = L ⋅ d I d t

Para encontrarmos a equação que rege nosso oscilador. Após isso, tudo que teremos que fazer é manipular até encontrarmos nossas frequências de oscilação.

Passo 2

Bom, temos que o melhor método para demonstrar se o circuito tem duas frequências é calculando as mesmas. Vamos comelar então! Primeiro vamos nomear cada parte do circuito.

Se usarmos a segunda lei de Kirchoff nos pontos A e B , vamos chegar que nossas correntes respeitam a seguinte relação:

I 2 + I 3 = I 1

Se aplicarmos agora a primeira lei de Kirchoff, vamos encontrar três equações, dadas por:

q 1 C + L d I 1 d t + q 2 C = 0

q 2 C + L d I 3 d t + q 3 C = 0

q 1 C + L d I 1 d t + L d I 2 d t + q 3 C + q 2 C = 0

Se manipularmos as duas primeiras, vamos chegar na nossa primeira frequência de oscilação. Teremos que:

q 1 C + L d I 1 d t = L d I 3 d t + q 3 C

Se derivarmos toda a expressão em relação ao tempo, teremos que

I 1 C + L d 2 I 1 d t 2 = L d 2 I 3 d t 2 + I 3 C

Mas como já achamos no inicio, I 3 = I 1 - I 2 . Assim, teremos que

d 2 I 2 d t 2 + 1 L C ⋅ I 2 = 0 → d 2 I 2 d t 2 + ω 01 2 ⋅ I 2 = 0

Com nossa frequência ω 01 = 1 L C .

Passo 3

Para nossa segunda frequência de oscilação, vamos manipular a ultima equação. Temos que derivando em relação ao tempo e substituindo I 3 = I 1 - I 2 , vamos chegar que:

2 L d 2 I 1 d t 2 + 2 I 1 C - L d 2 I 2 d t 2 = 0

Da equação do passo anterior, temos que L d 2 I 2 d t 2 = - I 2 C . Assim, substituindo, vamos chegar que

2 L d 2 I 1 d t 2 + 2 I 1 C + I 2 C = 0

d 2 I 1 d t 2 + 2 + I 2 I 1 2 L C ⋅ I 1 = 0 → d 2 I 1 d t 2 + ω 02 2 = 0

Com ω 02 = 2 + I 2 I 1 2 L C , mostrando que temos dois valores para esse circuito.

Resposta

ω 01 = 1 L C ,     ω 02 = 2 + I 2 I 1 2 L C

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