1.

Um capacitor de 5,0   μ F é carregado a uma tensão de 30   V e então é ligado a um indutor de 10   μ H . A frequência angular de oscilação das energias armazenadas no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor é:

(a) 1,41 × 10 5   r a d / s .

(b) 7,07 × 10 4   r a d / s .

(c) 3,18 × 10 9   r a d / s .

(d) 2,82 × 10 5   r a d / s .

(e) 1,41 × 10 4   r a d / s .

Resolução
2.

Considere o circuito da figura 1 , onde ε = 10   V , R 1 = 9 Ω , R 2 = 10 Ω , o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. O circuito é operado nas seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Durante a fase 2 , a d.d.p. V A - V B em função do tempo corresponde ao gráfico da figura 2 , na qual a escala de tempo no eixo horizontal está expressa em segundos. Supondo que a frequência angular da oscilação amortecida ω ' possa ser aproximada pela da oscilação livre sem amortecimento ω o , determine:

a ) O valor da resistência r .

b ) O valor da corrente no indutor no final da fase 1 .

c ) O valor da capacitância C e da indutância L .

d ) A energia dissipada na resistência r na fase 2 .

Resolução
3.

Considere o circuito L C abaixo com cargas + Q 0 e - Q 0 nas placas do capacitor. A chave é fechada no instante t = 0 .

  1. Escreva a equação diferencia da carga Q t na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Q t .
  2. Determine a carga Q t na placa superior e a corrente I t no circuito para t > 0 e que satisfazem as condições iniciais.
  3. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento l e diâmetro 2 a com N voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  4. Qual é a nova frequência angular ω ' de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 100   μ 0 ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular ω do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.
Resolução
4.

Considere um circuito L C com capacitância C = 3 μ F e indutância L = 30 m H . Em t = 0 , não há corrente passando no circuito e a tensão sobre o capacitor é de 60 V . Nas respostas numéricas abaixo, quando necessário, aproxime π ≈ 3 , ε 0 ≈ 10 - 11 F / m e μ 0 ≈ 10 - 6 H / m .

(a) Qual é o primeiro instante em que a corrente no indutor é máxima?

(b) Qual é o valor da corrente máxima no indutor?

(c) Após t = 0 , qual é o primeiro instante em que a carga no capacitor volta a ser máxima?

Resolução
5.

Num circuito L C , L = 2,0 m H e C = 8,0 μ F . No instante t = 0 , a corrente é de 8,0 m A , a carga do capacitor é de 2,0 μ C e o capacitor está sendo carregado.

  1. Qual é a energia total do circuito?
  2. Qual é a carga máxima do capacitor?
  3. Qual é a corrente máxima?
  4. Qual é o período de oscilação da corrente no circuito?
  5. Sabendo-se que a carga do capacitor é dada por q t = Q cos ⁡ ω t + ϕ , qual o valor de ϕ ?
Resolução
6.

Considere o circuito mostrado na figura abaixo, onde o capacitor C está inicialmente descarregado. Considere ε , R 1 , R 2 , C e L dados.

Fase I: A chave S é comutada para a posição 1 ( t = 0 ). Nestas condições:

a ) Escreva a expressão da corrente no circuito em função do tempo i ( t ) .

b ) Após um tempo muito longo, determine as tensões sobre R 1 , R 2 e L .

Fase II: A chave é comutada para a posição 2 ( t = 0 ).

c ) Temos agora um circuito RLC em série onde a corrente pode ser aproximadamenre dada pela seguinte expressão: i t = I m e - α . t cos ⁡ ω . t . determine os três parâmetros desta expressão: I m , α e ω em função dos dados do problema ( ε , R 1 , R 2 , C e L ).

d ) Após um tempo muito longo calcule a energia total dissipada em R 2 .

Resolução
7.

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

Resolução
8.

Em um circuito LC, no qual C = 4,0   μF , a diferença de potencial máxima através do capacitor durante as oscilações é de 1,25   V e a corrente máxima através do indutor é de 50   mA .

Encontre:

  1. A indutância do indutor;
  2. A frequência das oscilações;
  3. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;
Resolução
9.

Considere o circuito da figura onde ε = 5   V , R 1 = 4   Ω , R 2 = 1 Ω , L = 10 - 3   H e C = 10 - 3   F . Neste circuito ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave na posição 1 durante longo tempo.

Fase 2 : chave comutada instantanemanere da posição 1 para a posição 2 , permanecendo nesta posição durante longo tempo.

a ) A intensidade e o sentido da corrente no indutor em função do tempo durante a Fase 1 .

b ) A d.d.p V A - V B em função do tempo durante a Fase 1 .

c ) A energia armazenada no indutor no final da Fase 1 .

d ) A corrente no indutor em função do tempo na Fase 2 , indicando o sentido no início desta fase ( t = 0   s imediatamente após a comutação da chave da posição 1 para a posição 2 ).

e ) As d.d.p. V S - V A , V A - V B e V B - V S no início da Fase 2 .

f ) Quais seriam os efeitos na corrente do indutor durante a Fase 2 se os valores de R 1 e R 2 forem trocados para 1   Ω e 4   Ω , respectivamente?

Resolução
10.

Considere o circuito da figura 1 onde ε = 15   V , R 1 = 1   k Ω , R 2 = 2   k Ω , C = 10 - 6 F , L = 10 - 2 H e ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase1: chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo

Fase 2: chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo

Determine, justificando todas as respostas:

a ) A ddp V P - V Q em função do tempo durante a fase 2.

b ) A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2.

c ) A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2.

d ) A energia do circuito durante a fase 2.

Considere agora que as posições do indutor e do capacitor são trocadas e a resistência R 1 é substituída por outra R 3 , conforme a Figura 2. Nestas novas condições, determine:

e ) O valor da resistência R 3 tal que a energia do circuito seja igual ao da Figura 1.

f ) Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna r = 2 Ω , após quanto tempo a energia inicial do circuito decai de 1 / e 2 , sendo “ e " a base dos logaritmos naturais.

Resolução
11.

Considere o circuito mostrado na figura abaixo, onde o capacitor C está inicialmente descarregado. Considere ε , R 1 , R 2 , C e L dados.

Fase I: A chave S é comutada para a posição 1 ( t = 0 ). Nestas condições:

a ) Escreva a expressão da corrente no circuito em função do tempo i ( t ) .

b ) Após um tempo muito longo, determine as tensões sobre R 1 , R 2 e L .

Fase II: A chave é comutada para a posição 2 ( t = 0 ).

c ) Temos agora um circuito RLC em série onde a corrente pode ser aproximadamenre dada pela seguinte expressão: i t = I m e - α . t cos ⁡ ω . t . determine os três parâmetros desta expressão: I m , α e ω em função dos dados do problema ( ε , R 1 , R 2 , C e L ).

d ) Após um tempo muito longo calcule a energia total dissipada em R 2 .

Resolução
12.

Considere o circuito ao lado com ε = 50   V , L = 10   H , C = 20   μ F , R 1 = 25   Ω e R 2 = 5000   Ω . O capacitor C está inicialmente descarregado.

A chave S é fechada para t = 0 , produzindo uma corrente i L que passa através do ramo do indutor e uma corrente i C que passa através do ramo do capacitor.

a ) Calcule o valor de i L e i C no instante t = 0   s e o valor de i L e i C após um tempo t muito grande após o fechamento da chave S .

b ) Escreva (indicando os valores) o comportamento das correntes i L e i C em função do tempo (a partir de t = 0   s ), levando em conta as diferentes constantes de tempo de cada ramo. Faça um gráfico destas correntes.

c ) Após um tempo muito longo, a chave S é aberta de novo. Desenhe o gráfico do comportamento de V C em função do tempo a partir da abertura de S .

d ) Qual é o valor da energia total dissipada nos dois resistores R 1 e R 2 ?

Resolução
13.

Considere o circuito da figura 1 , onde ε = 10   V , R 1 = 9 Ω , R 2 = 10 Ω , o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. O circuito é operado nas seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Durante a fase 2 , a d.d.p. V A - V B em função do tempo corresponde ao gráfico da figura 2 , na qual a escala de tempo no eixo horizontal está expressa em segundos. Supondo que a frequência angular da oscilação amortecida ω ' possa ser aproximada pela da oscilação livre sem amortecimento ω o , determine:

a ) O valor da resistência r .

b ) O valor da corrente no indutor no final da fase 1 .

c ) O valor da capacitância C e da indutância L .

d ) A energia dissipada na resistência r na fase 2 .

Resolução
14.

No circuito da figura abaixo, considere as seguintes fases:

Fase 1: S 1 e S 2 fechadas e S 3 aberta por um longo tempo.

a ) Determine a corrente no indutor no início e no final da Fase 1.

b ) Calcule a energia final armazenada no indutor L .

Fase 2: S 1 e S 3 abertas e S 2 fechada durante logo tempo.

Fase 3: S 1 e S 2 abertas e S 3 é fechada.

c ) Determine a frequência angular ω da fonte C A para que a corrente na malha R 3 L C tenha a maior amplitude possível.

d ) Se ω = 2 × 10 8   [ r a d / s ] , faça o diagrama dos fasores da malha R 3 L C e calcule o ângulo de fase entre ε t e i t .

e ) Determine a potência média fornecida pela fonte C A e a potência média dissipada em R 3 .

Dados: ε 0 = 12   V , ε t = 50 sen ⁡ ω t V , L = 0,2   m H , C = 0,5   p F , R 1 = R 2 = 2   Ω e R 3 = 40   [ k Ω ]

Resolução
15.

Nos circuitos A e B das figuras tem-se ε = 10   V , R = 10 3 Ω , L = 10 - 2   H e C = 10 - 9   F , sendo que o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. Nestes circuitos também ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Com os dados a sua disposição:

a ) Escreva a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo no circuito A durante a Fase 2 . Esboce também o seu gráfico nas fases 1 e 2 , indicando o valor no início da Fase 1 e no início da Fase 2 .

b ) Escreva a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo no circuito B durante a Fase 2 . Esboce também o seu gráfico nas fases 1 e 2 , indicando o valor no início da Fase 1 e no início da Fase 2 .

c ) Imagine agora que o indutor no circuito A seja substituído por outro com o mesmo valor de L mas cujo fio das espiras tem uma resistência total de 10   Ω . Escreva neste caso a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo durante a Fase 2 . Faça um esboço de seu gráfico na Fase 2 .

Resolução
16.

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

Resolução
17.

Em um circuito LC, no qual C = 4,0   μF , a diferença de potencial máxima através do capacitor durante as oscilações é de 1,25   V e a corrente máxima através do indutor é de 50   mA .

Encontre:

  1. A indutância do indutor;
  2. A frequência das oscilações;
  3. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;
Resolução
18.

Um capacitor de 5,0   μ F é carregado a uma tensão de 30   V e então é ligado a um indutor de 10   μ H . A frequência angular de oscilação das energias armazenadas no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor é:

(a) 1,41 × 10 5   r a d / s .

(b) 7,07 × 10 4   r a d / s .

(c) 3,18 × 10 9   r a d / s .

(d) 2,82 × 10 5   r a d / s .

(e) 1,41 × 10 4   r a d / s .

Resolução
19.

Um circuito L C ressonante em ω 0 tem o valor de L e C aumentados em 25 % . A nova frequência de ressonância ω r será:

  1. ω r = 0,80   ω 0
  2. ω r = 1,25   ω 0
  3. ω r = 0,25   ω 0
  4. ω r = 0,20   ω 0
  5. ω r = ω 0
Resolução
20.

Um solenoide de autoindutância L é percorrido por uma corrente estacionária I 0 .

a ) Qual é o valor da energia magnética armazenada no indutor?

b ) Por meio de um chaveamento, no instante t = 0 , o indutor é colocado em série com um capacitor de capacitância C de modo a formar um circuito L C . A corrente inicial no indutor é I 0 = I 0 e a carga inicial no capacitor é Q 0 = 0 . Use a lei de conservação de energia para determinar a carga máxima Q m á x que pode ser atingida no capacitor.

c ) Escreva a equação diferencial para a carga Q do capacitor e determine a frequência angular de oscilação ω .

Resolução
21.

Considere o circuito formado por uma bateria com fem ε , um resistor com resistência R , um capacitor com capacitância C , um indutor com indutância L e uma chave comutadora com duas posições: a e b .