Enunciado

36- A figura 28.48 mostra a seção reta de diversos condutores que conduzem correntes que atravessam o plano da figura. Os sentidos das correntes são indicados na figura e os módulos são I 1 = 4.0   A ,   I 2 = 6.0   A e I 3 = 2.0   A . Quatro trajetórias indicadas pelas letras de a até d são mostradas na figura. Qual é o valor da integral de ∮ B →   . d l → para cada trajetória? Para cada integral, escolha um percurso no sentido anti-horário. Explique suas respostas.

Passo 1

O valor da integral de linha do campo magnético em uma região fechada é igual a:

  ∮ B →   . d l → = μ o I

Onde o sentido anti-horário é o sentido positivo. Em outras palavras imagina uma região qualquer z e nela passa uma corrente I 1 que sai da folha do papel, essa corrente pela regra da mão direita produzirá um valor positivo desse somatório de campo-metro igual a:

μ 0 I 1   T m

Pois I 1 gera um campo magnético positivo para essa integral.

Passo 2

Então podemos começar, não existe nenhuma corrente que passa por esse caminho então essa região não contribui em nada com a integral de linha, então:

a :   ∮ B →   . d l → = μ 0 × 0 = 0

Passo 3

A região b por outro lado possui uma corrente que entra na folha do papel igual a 4   A , então ela contribui no sentido horário para a integral de linha, portanto dando um resultado negativo, ou seja:

b :   ∮ B →   . d l → = - μ 0 I 1 = - 4 × 4 π × 10 - 7 = - 5.027 × 10 - 6   T m

Passo 4

Já na região c temos a presença de duas correntes, a corrente I 1 que já falamos no caso anterior e a corrente I 2 que contribui positivamente (pela regra da mão direita) para a integral

de linha então:

c : ∮ B →   . d l → = ∮ B 1 →   . d l → + ∮ B 2 →   . d l → = - μ 0 I 1 + μ 0 I 2 = 4 π × 10 - 7 6 - 4

c : 2.51 × 10 - 6   T m

Passo 5

E finalmente a região d que tem todas as correntes. Aqui já deve ter ficado claro que as correntes que saem do plano contribuem positivamente para a integral de linha (pois geram campos magnéticos no sentido anti-horário) enquanto as horárias são negativas:

d : ∮ B →   . d l → = - μ o I 1 + μ 0 I 2 + μ 0 I 3 = 4 π × 10 - 7 - 4 + 6 + 2 = 5.03 × 10 - 6   T m

Resposta

a : 0

b :   - 5.027 × 10 - 6   T m

c : 2.51 × 10 - 6   T m

d :   5.03 × 10 - 6   T m

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