Enunciado

37. Um pêndulo simples de comprimento L , com uma massa m em sua extremidade, é deslocado lateralmente até que a massa atinja uma altura L / 4 acima de sua posição de equilíbrio. A massa é então, largada. Determine a rapidez da massa quando ela passa pela posição de equilíbrio. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

O diagrama acima mostra o pêndulo em sua posição inicial. A primeira iniciativa, quando se quer resolver esse tipo de questão, é definir um sistema de referencial. Por isso, deixamos que o ponto zero de energia potencial gravitacional esteja no ponto mais baixo de balanço do pêndulo, que na verdade é a posição de equilíbrio. Podemos encontrar a velocidade da massa na altura L / 4 , simplesmente aplicando a conservação de energia mecânica para o sistema. Como já é praxe para questões de energia envolvendo pêndulos, sabemos que na altura 0 de equílibrio, o único tipo de energia disponível é a cinética. Já quando o pêndulo atinge sua altura máxima, só há energia potencial nesse instante. O que temos que fazer é igualar as duas energias e pronto! Encontraremos a velocidade:

Passo 2

Aplicando a conservação de energia mecânica para o sistema, onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa, que no caso, não existe nessa situação, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , temos que:

∆ U + ∆ K = 0

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U f   e K f ) e inicial ( U i   e K i ). Com isso, obtemos que:

U f -   U i + K f - K i = 0

Agora, vamos as análises. Como descrito no enunciado, na posição inicial a massa encontra-se na altura L / 4 em relação ao referencial, onde a velocidade é nula. Mas em compensação, assim que a massa chega à origem do nosso referencial, sua velocidade é máxima. Opa! Assim, obtemos que U f e K i são, na verdade, igual a 0   e a partir daí obtemos a seguinte relação:

K f -   U i = 0

Passo 3

Agora é só substituir na relação expressa anteriormente, as fórmulas relativas a energia potencial inicial U i e a energia cinética final K f :

K f -   U i = 0

1 2 m v f 2 - m g h = 0

1 2 m v f 2 = m g h

Mas o que é esse h ? Bem, o h nada mais é do que altura inicial em que a massa encontrava-se, que já é fornecida pelo exercício e igual a L / 4 . Finalmente, podemos terminar as contas:

1 2 m v f 2 = m g L 4

1 2 v f 2 = g L 4

v f 2 = g 2 L 4

v f 2 = g L 2

v f = g L 2        

Resposta

A rapidez da massa na posição de equilíbrio é igual a v f = g L 2

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