Enunciado

38.25. Um átomo de berílio triplamente ionizado B e 3 + (um átomo de berílio que perdeu três elétrons) apresenta um comportamento semelhante ao do átomo de hidrogênio, a não ser pelo fato de ter uma carga nuclear quatro vezes maior do que a do hidrogênio. a) Qual é a energia do nível fundamental do berílio? Como ela se compara à energia de ionização do átomo de hidrogênio? b) Qual é a energia de ionização do B e 3 + ? Como ela se compara à energia da ionização do átomo de hidrogênio? c) Para o átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=2 para n=1 é igual a 122 nm (Exemplo 38.6, Seção 38.5). Qual é o comprimento de onda quando o íon B e 3 + realiza a mesma transição? d) Para um dado valor de n, como se compara o raio da órbita do íon B e 3 +   ao raio da órbita do mesmo nível do átomo de hidrogênio?

Passo 1

Um a informação importante que o enunciado nos dá é que o comportamento desse átomo é semelhante ao do átomo, mas a carga nuclear é quatro vezes maior. Bom, a gente sabe que o calculo da energia do nível fundamental do hidrogênio é o seguinte

E h = - 1 ϵ 0 Z e 2 2 8 n 2 h 2

Mas a carga nuclear é quatro vezes maior, então Z = 4 , se fosse do hidrogênio simples, seria Z = 1 . Agora podemos calcular a energia do Berílio

E b e = - 1 ϵ 0 4 e 2 2 8 n 2 h 2

A gente pode fazer o seguinte

E b e = 16 - 1 ϵ 0 e 4 8 n 2 h 2  

Repare que a energia do berílio triplamente ionizado é dezesseis vezes o valor da energia do hidrogênio no nível fundamental, e é assim que a energia desses dois átomos se compara, um é proporcional ao quadrado do outro.

E b e = 16 E h

E o valor da energia do hidrogênio é

E h = - 13,6   e V

Então

E b e = 16 ⋅ - 13,6 = - 218   e V

Passo 2

Agora vamos para o item (b). A energia de ionização é referente a energia para liberar um elétron do átomo. Para calcular a energia de ionização a gente tem que calcular a variação da energia de n = 1 → ∞ .

Vamos lá, no item (a) a gente achou a seguinte equação para a energia do átomo de berílio triplamente ionizado

E b e = 16 - 1 ϵ 0 e 4 8 n 2 h 2  

Repare que n está no denominador, então quando n → ∞ , E b e → 0 . E quando n = 1 , E b e = 16 - 1 ϵ 0 e 4 8 h 2  

Então

Δ E b e = 16 - 1 ϵ 0 e 4 8 h 2 - 0  

Então, a energia de ionização do berílio, é de novo dezesseis vezes a energia de ionização do hidrogênio

E b e = 16 ⋅ - 13,6 = - 218   e V

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Bom, para calcular o comprimento de onda de uma transição no hidrogênio, a gente tem essa equação

1 λ   = R h 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Mas a gente não quer para o hidrogênio, mas para o átomo do berílio triplamente ionizado. Bom o cálculo de R h é:

R h = m Z e 2 2 8 ϵ 0 h 3 c

Com Z = 1 . Como o átomo que nos interessa se comporta como o hidrogênio, exceto por sua carga nuclear ser quatro vezes maior, a gente pode calcular assim

R b e = m 4 e 2 2 8 ϵ 0 h 3 c

Ou seja

R b e = 16 R h

Então o comprimento de onda pode ser calculado assim

1 λ = 16 R h 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Então

λ = 1 16 R h 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Agora é só substituir os valores

λ = 1 16 ⋅ 1,097 ⋅ 10 7 1 1 2 - 1 2 2

Fazendo essa continha temos

λ = 7,59   n m

Passo 4

Vamos finalmente para o item (d). Vamos compara os raios dos dois átomos. Bom o átomo de hidrogênio a gente calcula assim

r h = ϵ 0 n 2 h 2 π m e 2

E para o berílio é assim

r b e = ϵ 0 n 2 h 2 π m Z e 2

Com Z = 4 .

Agora vamos comparar esses raios.

r h r b e = ϵ 0 n 2 h 2 π m e 2 ϵ 0 n 2 h 2 π m Z e 2

Bom, a gente pode cortar praticamente tudo, vai ficar assim

r h r b e = 1 1 Z = Z

Então

r h r b e = 4

Então o raio do berílio é quatro vezes maior do que o raio do hidrogênio para um dado valor de n .

Resposta

  1. E b e = - 218   e V
  2. E b e = - 218   e V
  3. λ = 7,59   n m
  4. r h r b e = 4
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