Enunciado

41 . Uma esfera metálica com raio r a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r b . Existe uma carga + q na esfera interna e uma

carga - q na esfera externa. ( a ) Determine o potencial V ( r ) para as regiões i   r < r a ;   i i   r a < r < r b ;   i i i   r > r b . (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito. ( b ) Mostre que o potencial da esfera

interna em relação à esfera externa é dado por

V a b = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

( c ) Use a Equação 23.23 e o resultado do item ( a ) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por

E r = V a b ( 1 / r a - 1 / r b ) 1 r 2

( d ) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item ( a ) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r > r b . ( e ) Suponha que a carga na esfera externa não seja - q , mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, - Q . Mostre que as respostas dos itens ( b ) e ( c ) não se alteram, porém a resposta do item ( d ) torna-se diferente.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Vamos analisar e resolver cada item separadamente nos próximos passos para a gente não ficar confuso e se perder. Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

O potencial é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 q r

Então temos que usar essa equação para analisar cada região que o item ( a ) pede.

Para i   r < r a .

Nessa região estamos dentro das duas esferas, logo temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q r a - 1 4 π ϵ 0 q r b

⇒ V = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

Para i i   r a < r < r b .

Nessa região estamos dentro da esfera externa mas fora da esfera interna, logo:

V = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 q r b

⇒ V = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 r b

Para i i i   r > r b .

Nessa região estamos fora das duas esferas, assim temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 q r

⇒ V = 0

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

O potencial na esfera interna é dado por:

V a = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

Já que estamos em uma região dentro das duas esferas. Agora o potencial na esfera externa é:

V = 0

Pois estamos em uma região fora das duas esferas, então temos que:

V a b = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

Passo 4

Vamos para o item ( c ) .

A equação 23.23 é a seguinte:

E r = - ∂ V ∂ r

Ele quer que usemos essa equação para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas é dado pela equação lá do enunciado.

O potencial de um ponto entre as esferas é dado por:

V = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 r b

Então temos que derivar isso em relação r , então:

∂ V ∂ r = - q 4 π ϵ 0 1 r 2

Então:

E r = q 4 π ϵ 0 1 r 2

Do item ( b ) , temos que:

V a b = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

⇒ q = V a b 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

Então temos que:

E r = V a b 1 r a - 1 r b 1 r 2

Chegamos na equação do enunciado!

Passo 5

Agora o item ( d ) .

A equação 23.23 é a seguinte:

E r = - ∂ V ∂ r

Ele quer que usemos essa equação para encontrar o campo em um ponto com r > r b .

O potencial de um ponto com r > r b é:

V = 0

Logo temos que:

E r = 0

Passo 6

Finalmente o item ( e ) , o último!

Se a casca externa tiver uma carga - Q diferente os potenciais dentro da camada externa só irão sofrer um pequeno deslocamento de

V = 1 4 π ϵ 0 Q r b

Logo os resultados de ( b ) e ( c ) se mantem os mesmos. Mas por conta dessa diferença de carga o potencial fora das esferas é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 Q r

⇒ V = 1 4 π ϵ 0 r q - Q

Logo a deriva de V com relação a r não vai ser mais zero, logo o campo nessa região vai ser diferente de zero, mudando o resultado do item ( d ) .

Resposta

( a )

Para i   r < r a .

V = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

Para i i   r a < r < r b .

V = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 r b

Para i i i   r > r b .

V = 0

( b )

V a b = q 4 π ϵ 0 1 r a - 1 r b

( c )

Demonstrado acima!

( d )

E r = 0

( e )

Demonstrado acima.

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