Enunciado

42. Se a energia cinética de uma partícula é igual à sua energia de repouso, qual o erro percentual que se comete ao usar p = m v para sua quantidade de movimento? A expressão não-relativística é sempre menor, ou sempre maior, do que a correta expressão relativística para a quantidade de movimento?

Passo 1

O erro percentual, ao comparar a quantidade de movimento relativística p r e l com a não-relativística p n , r e l , é dado por:

E r r o   p e r c e n t u a l = p r e l - p n , r e l p r e l = 1 - p n , r e l p r e l

Guardemos bem essa expressão, porque vamos precisar mais pra frente!

Passo 2

Agora, vamos usar a fórmula da energia cinética relativística K , afim de encontrar alguma relação útil:

K = m c 2 1 - v 2 c 2 - m c 2

K = m c 2 1 1 - v 2 c 2 - 1

O enunciado fala que a energia cinética é igual a energia de repouso E 0 , cujo valor todo mundo já sabe, é dado por m c 2 . Logo, podemos reescrever a fórmula anterior como:

E 0 = E 0 1 1 - v 2 c 2 - 1

1 1 - v 2 c 2 - 1 = 1

1 1 - v 2 c 2 = 2

Passo 3

A quantidade de movimento relativística p r e l de uma partícula é dada pela seguinte fórmula

p r e l = m v 1 - v 2 c 2

Mas do P a s s o   2 , obtemos que:

1 1 - v 2 c 2 = 2

Desse modo, chegamos a:

p r e l = m v 1 - v 2 c 2 = 2 m v

Passo 4

Voltemos à fórmula do erro; uma vez que obtemos p r e l como 2 m v , e o valor da quantidade de movimento não-relativística p n , r e l dispensa apresentações, igual a m v :

E r r o   c o m e t i d o = 1 - p n , r e l p r e l

E r r o   c o m e t i d o = 1 - m v 2 m v

E r r o   c o m e t i d o = 0,5 = 50 %

Passo 5

Por último, para analisar se a expressão não-relativística é sempre menor, ou sempre maior, do que a correta expressão relativística, nos atentemos a seguintes razão:

p n , r e l p r e l

Que pode ser reescrita como:

p n , r e l p r e l = m v m v 1 - v 2 c 2

p n , r e l p r e l = 1 - v 2 c 2

O valor que obtemos para a razão é sempre menor do que 1 . Por isso, a quantidade de movimento não-relativística é sempre menor do que a quantidade de movimento relativística.

1 - v 2 c 2 < 1

Resposta

O erro percentual é de 50 % e a quantidade de movimento não-relativística é sempre menor do que a quantidade de movimento relativística.

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