Enunciado

43. Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado (Figura 7-44). O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é μ s . Uma força gradualmente crescente puxa para baixo a mola (de constante de força k ). Encontre a energia potencial U da mola (em termos dos dados) no momento em que bloco começa a se mover.

Passo 1

Olá, querido! Cê tá bem? Então, vamos entender o que está havendo aqui.

Temos um bloco sobre um plano inclinado onde há atrito e que é puxado por uma corda ligada a uma mola. Tem bastante coisa acontecendo com esse bloco, né? Então é uma boa a gente fazer o diagrama de corpo livre desse cara:

Agem no bloco quatro forças: a força normal ( F n ) , a força peso ( F g ) , a força de atrito ( f s ) e a força T que é a tensão na corda.

Só que a corda está ligada a uma mola que é puxada com uma força F e crescente. Essa força é transmitida totalmente pela mola e pela corda puxando o bloco no sentido de subir a rampa. Ou seja, a força na corda é a força aplicada na mola

T = F e

Como essa força cresce gradualmente até certo ponto, em que o bloco está à beira de deslizar, a força de atrito ( f s )   adquire seu valor máximo   (   f s m á x ) , e aponta no sentido de descer a rampa.

Tá, mas o que a gente quer com tudo isso? Cara, ele pediu a energia potencial da mola quando esse bloco está à beira de deslizar. A eneria potencial de uma mola é dada por

U = k x 2 2

A gente já tem a constante elástica da mola k , então o que a gente precisa fazer é achar a deformação da mola x . E como a gente faz isso? Bora ver!

Passo 2

Então, a gente pode achar uma expressão para x aplicando a segunda lei de Newton ali no nosso diagrama. Vamos ver ele de novo aqui:

A única força fora dos eixos principais é F g , então vamos calcular as componentes dela:

F g x = F g sin ⁡ θ

F g y = F g cos ⁡ θ

A segunda lei de Newton tem a seguinte cara:

∑ F → = m a →

Como o bloco está na iminência de se movimentar na direção x , vamos então usar a lei de Newton para essa situação:

∑ F x = m a x

Só que tem um porém. Estamos analisando o caso no qual o bloco está na iminência de movimento, justamente onde a força de atrito é máxima, f s m á x . Por isso, como não há movimento ainda, a aceleração a x é igual a zero, o que resulta em:

∑ F x = 0

T - f s m á x - F g x = 0

Substituindo a expressão de F g x e lembrando que T = F e :

F e - f s m á x - m g sin ⁡ θ = 0     i

As componentes que aparecem negativas apontam para o sentido negativo de x .

Passo 3

Falta agora obter esse valor de f s m á x , para a equação comecar a ficar com a cara que procuramos. Para isso, vamos realizar o somatório das forças em y , no qual a aceleração também vale zero.

∑ F y = 0

F n - F g y = 0

F n - m g c o s   θ = 0

F n = m g c o s   θ

Agora, vamos lembrar da definição matemática da força de atrito. Ela tem essa carinha:

f s m á x = F n μ s

Mas, já obtemos anteriormente que F n = m g c o s   θ   . Assim chegamos ao valor pretendido:

f s m á x = m g c o s   θ μ s

Passo 4

Voltando agora, na somatório das forças na direção x (equação i ):

F e - f s m á x - m g sin ⁡ θ = 0  

Substituindo a expressão de f s m á x :

F e - m g c o s   θ μ s - m g sin ⁡ θ = 0

Por último, para encontrar a tão desejada deformação x , basta lembrar que F e , na verdade, é a força na mola, aquela mesmo cuja fórmula é dada por F e = k x . Só falta então fazer a última substituição na equação anterior e pronto:

F s - m g c o s   θ μ s - m g sin ⁡ θ = 0

k x - m g c o s   θ μ s - m g sin ⁡ θ = 0

Isolando quem a gente quer

x = m g c o s   θ μ s + m g sin ⁡ θ k

x = m g ( c o s   θ μ s + sin ⁡ θ ) k

Passo 5

Resta agora substituir o valor de x na fórmula da energia potencial elástica:

U = 1 2 k x 2

Encontramos a nossa resposta:

U = 1 2 k m g cos ⁡ θ μ s + sin ⁡ θ k 2

U = [ m g cos ⁡ θ μ s + sin ⁡ θ ] 2 2 k

Resposta

U = [ m g cos ⁡ θ μ s + sin ⁡ θ ] 2 2 k

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