Enunciado

40. Você está projetando um jogo para crianças pequenas e quer verificar se a a rapidez máxima de uma bola, impõe a necessidade de uso de óculos de proteção. No seu jogo, uma bola de 15,0   g deve ser atirada de um revólver de mola, cuja mola tem uma constante de força de 600 N / m . A mola é comprimida de 5,00   c m , quando em uso. Qual a rapidez com que a bola abandonará a arma e qual a altura que ela atingira, se o revólver for apontado para cima? O que você recomendaria com relação ao uso do óculos de proteção ?

Passo 1

Com U escolhido como nosso zero de potencial gravitacional no nível não comprimido da mola, a energia potencial gravitacional inicial da bola é negativa. Consideremos o sistema total como o conjunto bola, mola, revólver e terra. Temos, nesse caso, que a diferença entre a energia potencial elástica inicial, originada através da compressão da mola, e a energia potencial gravitacional da bola, é primeiro convertida na energia cinética da bola e depois em energia potencial gravitacional a medida que a bola sobe e diminui ... eventualmente chegando momentaneamente a descansar.

Passo 2

Com isso, vamos aos cálculos:

Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica para o sistema, que está livre da interferência de forças externas, temos:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Só que não existem forças externas atuando no sistema, logo o trabalho da força externa W e x t é nulo. Consequentemente, considerando as energias potenciais final e inicial ( U f e U i ) e as e energias cinéticas final e inicial ( K f e K i ), obtemos que:

U f - U i + K f - K i = 0    

Vamos analisar com cuidado a seguinte relação acima! Uma vez que definimos o sistema de referencial como zero para a posição em que a mola não está comprimida, no instante inicial no nosso sistema estão agindo a energia potencial da mola e a energia potencial gravitacional, que por sua vez será negativo, já que a mola está comprimida. Quando a bola abandona a arma, é o exato instante em que a mola volta a sua posição de equilíbrio no ponto zero do nosso referencial. Logo o único tipo de energia agindo nesse instante é a cinética. U f e K i , portanto terão valor igual a zero e a relação de antes ficará assim:

- U i + K f = 0

Agora, basta escrever as fórmulas já conhecidas para cada tipo de energia, onde m   é a massa, k é a constante de força, x   é a deformação e altura a que a mola estava submetida inicialmente e   v f é a rapidez final que se deseja obter:

- ( - m g x + 1 2 k x 2 ) + 1 2 m v f 2 = 0

m g x - 1 2 k x 2 + 1 2 m v f 2 = 0

1 2 m v f 2 = 1 2 k x 2 - m g x

m v f 2 = k x 2 - 2 m g x

v f 2 = k x 2 m - 2 g x

v f = k x 2 m - 2 g x

Substituem-se então os valores correspondentes:

v f = k x 2 - 2 m g x m

v f = ( 600   N / m ) 0,05   m 2 - 2 ( 0,015   K g ) ( 9,81   m / s ² ) ( 0,05   m ) 0,015   K g

v f = 9,95   m / s

Essa é a velocidade inicial da bola, que é rápida o suficiente para garantir o uso de óculos de proteção.

Passo 3

Agora, vamos verificar a altura que a bola atingiria se o revólver fosse apontado para cima

De novo, vamos analisar a situação! Uma vez que definimos o sistema de referencial como zero para a posição em que a mola não está comprimida, no instante inicial no nosso sistema estão agindo a energia potencial da mola e a energia potencial gravitacional, que por sua vez será negativo, já que a mola está comprimida. Quando a arma é apontada para cima, espera-se que ela saia inicialmente com uma determinada velocidade até atingir uma altura máxima. Pois bem, o único tipo de energia agindo nessa altura máxima é a potencial gravitacional. K f e K i , portanto terão valor igual a zero e a relação lá do P a s s o   1   ficará assim:

U f - U i = 0

m g h - - m g x + 1 2 k x 2 = 0

m g h + m g x - 1 2 k x 2 ) = 0

Isolando h :

h = k x 2 2 m g - x

Substitui-se, finalmente, os valores correspondentes. De modo que obtemos h :

h = ( 600   N / m ) 0,05   m 2 2 ( 0,015   K g ) ( 9,81   m / s ² ) - ( 0,05   m )

h = 5,05   m

Resposta

A rapidez inicial da bola é igual a 9,95   m / s , o que configura uma situação na qual é recomendável o uso de óculos de proteção.

Se a arma fosse apontada na vertical, a altura máxima atingida seria de 5,05   m .

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