Enunciado

44. Um bloco de 2,40   K g   é largado sobre uma mola (Figura 7-45) de uma altura de 5,00   m .Quando o bloco está momentaneamente em repouso, a mola está comprimida de 25,0   c m . Determine a rapidez do bloco quando a compressão da mola é de 15,0   c m .

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Ele fala de um bloco que é solto de uma altura de 5   m em relação a mola (situação 1), e depois fica em repouso momentâneo quando a mola tem deformação de x = 25   c m = 0,25   m (situação 3).

No nosso probleminha temos as 3 situações

Vamos considerar a nossa origem do sistema de referência de h quando a mola tem a compressão de 15   c m = 0,15   m , beleza?

Na situação 2 o bloco já está em contato com a mola, mas ainda está descendo com rapidez v . É exatamente essa rapidez que o problema quer que a gente ache.

Mas como? Cara, como temos como dados a altura do bloco em alguns momentos, temos uma mola e queremos v ,, é uma boa a gente usar a conservação de energia mecânica.

Bora começar!

Passo 2

De forma geral, a energia mecânica de um objeto é a soma da energia potencial gravitacional, a elástica e a energia cinética:

E = U g + U e l + K

Na situação 1 o bloco é solto do repouso. Como a energia cinética é proporcional a rapidez, nesse ponto a energia cinética vai ser nula. E como o bloco não está em contato com a mola, a energia potencial elástica é nula também. Então a sua energia mecânica inicial é

E 1 = U g

Substituindo a expressão da energia potencial gravitacional U g = m g h :

E 1 = m g h 1

Onde essa altura inicial é, em relação ao nosso referencial, h 1 = 5 m + 15 c m = 5,15 m . Como temos a massa e g é uma constante, já temos todos os ingredientes desse termo aqui :)

Passo 3

Na situação 2 temos que o bloco está descendo ainda (tem velocidade não nula), comprimiu a mola de 15 c m e está na nossa origem do nosso referencial ( h 2 = 0 ), o que significa que apenas a energia potencial gravitacional é nula. Então vamos ter:

E 2 = K + U e l

Substituindo as fórmulinhas da energia cinética K e da energia potencial gravitacional:

E 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 2

O que temos aqui? Temos a massa m e a deformação da mola ( x = 0,15 m ). A rapidez v é o que o enunciado nos pede e não temos a constante elástica k !

Passo 4

E agora? Como achamos k ? Aí vamos voltar pro enunciado pra ver se tem alguma informação importante. Tem isso aqui que ainda não usamos Quando o bloco está momentaneamente em repouso, a mola está comprimida de 25,0   c m

Essa frase é uma situação após a situação que enunciado pede! A situação 3. Vamos usar essa última situação pra achar a constante k , show?

O bloco está em repouso (energia cinética nula novamente), a mola está comprimida de x ' = 25   c m e a posição do nosso bloco em relação ao referencial é h 3 = - 10   c m ( 10 c m abaixo da nossa origem!). A energia total será

E 3 = U g 3 + U e l 3

E 3 = m g h 3 + 1 2 k x ' 2

Show!

Passo 5

Agora vamos usar a conservação de energia mecânica para achar k . A energia mecânica em todos os pontos deve ser igual, então:

E 1 = E 3

Substituindo nossas expressões para cada uma dessas coisinhas:

- m g h + x + 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 0

v = 2 g h + x - k x 2 m

A força constante da mola é dada:

k = w b l o c o ∆ x = m g ∆ x

Onde ∆ x é a compressão da mola quando o bloco está momentaneamente em repouso.

Substituindo para k e simplificando, temos

v = 2 g h + x - m g x 2 m ∆ x

v = g 2 h + x - x 2 ∆ x

Passo 6

Onde

Agora é substituir os dados e tirar a raiz quadrada

v = 9,8 1   m / s 2 ⋅ 2 ⋅ 5.00 m + 0.150 m - 0,15 m 2 0.25   m

v =   10 , 0   m / s

Show! Conseguimos :D

Resposta

v ≅ 10,0   m / s

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