Enunciado

43. Os centenários elevadores de Valparaíso, no Chile, são pequenos bondes que sobem e descem as ruas inclinadas. Como mostra a FIGURA P7.43, um elevador sobe enquanto outro desce. Os vagões usam um arranjo de dois cabos para compensar o atrito; um deles passa por uma grande polia e liga os vagões, o segundo é puxado por um pequeno motor. Suponha que a massa de ambos os carros (com seus passageiros) seja de 1.500   k g , que o coeficiente de atrito

de rolamento valha 0,020 e que os vagões se movam com velocidade constante. Quanto vale a tensão ( a ) no cabo que liga os vagões e ( b ) no cabo do motor?

Passo 1

Então pessoal a base que precisamos para resolver esse problema é a segunda e a terceira lei de Newton, mas para sabermos como usá-las bem, vamos montar um diagrama de corpo livre para cada vagão do nosso sistema, temos o seguinte:

Vamos nos referir ao vagão que está descendo por vagão 1 e o que está subindo de vagão 2 .

Desse diagrama podemos dizer que T 1 = T 2 , já que eles estão presos por uma corda ideal.

Sabendo disso podemos para o item ( a ) avaliar o vagão 1 utilizando a segunda lei de Newton e encontrar a tensão no cabo que liga os vagões já que as duas são iguais e também porque só teremos a incógnita da tensão.

E para o item ( b ) podemos avaliar o vagão 2 também utilizando a segunda lei de Newton e encontrar a tração T m no cabo do motor.

Como os dois vagões estão com velocidade constante isso significa que não temos força resultante na direção x e nem na direção y .

Passo 2

Vamos lá então, começando com o item ( a ) vamos analisar o vagão 1 primeiro na direção y , temos:

n 1 - F G 1 cos ⁡ 35 ° = 0

⇒ n 1 - m 1 g cos ⁡ 35 ° = 0

⇒ n 1 = m 1 g cos ⁡ 35 °

Agora vamos analisar na direção x o mesmo vagão, temos:

T 1 + f 1 - F G 1 sen ⁡ 35 ° = 0

⇒ T 1 + μ R n 1 - m 1 g sen ⁡ 35 ° = 0

Usando o que encontramos para n 1 , temos:

T 1 + μ R m 1 g cos ⁡ 35 ° - m 1 g sen ⁡ 35 ° = 0

Isolando T 1 que é o que queremos no final das contas.

T 1 = - μ R m 1 g cos ⁡ 35 ° + m 1 g sen ⁡ 35 °

Substituindo os valores que sabemos, temos:

T 1 = - ( 0,02 ) ( 1500 ) ( 9,8 ) cos ⁡ 35 ° + ( 1500 ) ( 9,8 ) sen ⁡ 35 °

= - 240,83 + 8431,57

⇒ T 1 = 8190,74   N

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) , para encontrar a tensão no cabo do motor, vamos analisar o vagão 2 .

Primeiro na y , que vamos ter uma coisa semelhante ao vagão 1 , temos o seguinte:

n 2 - F G 2 cos ⁡ 35 ° = 0

⇒ n 2 - m 2 g cos ⁡ 35 ° = 0

⇒ n 2 = m 2 g cos ⁡ 35 °

Agora vamos analisar a direção x , temos:

T m + T 2 - f 2 - F G 2 sen ⁡ 35 ° = 0

⇒ T m + T 2 - μ R n 2 - m 2 g sen ⁡ 35 ° = 0

Usando o que encontramos para n 2 , temos:

T m + T 2 - μ R m 2 g cos ⁡ 35 ° - m 2 g sen ⁡ 35 ° = 0

Isolando T m , temos:

T m = - T 2 + μ R m 2 g cos ⁡ 35 ° + m 2 g sen ⁡ 35 °

Como já sabemos T 2 = T 1 , então vamos substituir os valores que conhecemos e encontrar T m .

T m = - ( 8190,74   N ) + ( 0,02 ) ( 1500 ) ( 9,8 ) cos ⁡ 35 ° + ( 1500 ) ( 9,8 ) sen ⁡ 35 °

= - 8190,74 + 240,83 + 8431,57

Então temos que:

T m = 481,66   N

Resposta

( a )

T 1 = T 2 = 8190,74   N

( b )

T m = 481,66   N

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