Enunciado

44 . Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V = + A x 2 y - B x y 2 , em que A = 5,00   V / m 3 e B = 8,00   V / m 3 . Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto, nessa região, de coordenadas x = 2,00   m , y = 4,00   m e z = 0 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrar o campo elétrico, podemos usar a seguinte equação que relaciona o campo com o potencial.

E → = - ∂ V ∂ x x ^ + ∂ V ∂ y y ^ + ∂ V ∂ z z ^

No nosso caso ∂ V ∂ z = 0 .

Onde:

E x = - ∂ V ∂ x

E y = - ∂ V ∂ y

Então a partir disso podemos encontrar o módulo do campo já que:

E = E x 2 + E y 2

A direção pode ser encontrada da seguinte forma:

tg ⁡ θ = E y E x

Vamos as contas!

Passo 2

Primeiro temos que calcular aquelas derivadas, então:

∂ V ∂ x = - 2 A x y + B y 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

∂ V ∂ x = - 2 ( 5 ) ( 2 ) ( 4 ) + ( 8 ) ( 4 ) 2

⇒ ∂ V ∂ x = 48   V / m

∂ V ∂ y = - A x 2 + 2 B x y

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

∂ V ∂ x = - 5 2 2 + 2 ( 8 ) ( 2 ) ( 4 )

⇒ ∂ V ∂ x = 10 8   V / m

Então temos que:

E x = - 48   V / m

E y = - 108   V / m

Passo 3

Então o módulo do campo elétrico é dado por:

E = - 48 2 + - 108 2

= 2304 + 11664

Então:

E = 118,18   V / m

Passo 4

A direção desse campo é dada por:

tg ⁡ θ = E y E x

⇒ tg ⁡ θ = - 108 - 48

⇒ tg ⁡ θ = 2,25

Logo temos que:

θ = 66,03 °

Mas como as duas componentes do campo são negativas ele aponto para o sentido de x negativo e y negativo, logo o ângulo de inclinação dele é:

180 ° + 66,03 ° = 246,03 °

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

E = 118,18   V / m

246,03 °

O campo aponta para o sentido negativo de x e para o sentido negativo de y .

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