Enunciado

50. Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com um ângulo pequeno a cada 2   s . Qual deve ser o valor do raio do aro?

Passo 1

Como o enunciado nos forneceu o período de oscilação ( T = 2   s ) e temos pequenas oscilações, podemos usar a fórmula do período para pequenas oscilações de um pêndulo físico, que é:

T = 2 π I m g d

Nesse problema, vamos considerar que o centro de massa do aro como se fosse a bolinha do nosso pêndulo, então a distância do ponto que está preso até ele é igual ao raio, assim:

d = R

Temos que agora, resolver um problema, que é descobrir o momento de inércia, já que o momento de inércia que conhecemos para um aro é em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular ao aro.

Para achar esse cara, vamos utilizar o teorema dos eixos paralelos, que diz que o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa e é paralelo a um eixo no qual conheçamos o momento de inércia em relação a ele, é a soma do momento de inercia conhecido com o produto da massa do corpo que estamos analisando vezes a distância entre os eixos ao quadrado, em linguagem matemática, temos:

I = I c o n h e c i d o + M d 2

Só que no nosso caso a distância entre os eixos é igual ao raio já que o centro de massa se encontra no centro do aro, assim:

I = I c o n h e c i d o + M R 2

O momento de inercia conhecido, que é em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, de um aro é:

I c o n h e c i d o = M R 2

Assim temos que:

I = M R 2 + M R 2 = 2 M R 2

Passo 2

Agora que temos tudo do que precisamos, vamos isolar o R da equação do período.

T = 2 π I m g R

⇒ I m g R = T 2 4 π 2

⇒ 2 M R 2 m g R = T 2 4 π 2

Sabendo que m = M , temos:

⇒ R = g T 2 8 π 2

Passo 3

Agora que temos uma expressão final, vamos substituir os valores que conhecemos.

Temos que T = 2   s e que g = 9,8   m / s 2 , assim:

R = 9,8 * 2 2 8 π 2

= 9,8 2 π 2

Assim, temos que:

R = 0,496   m

Resposta

R = 0,496   m

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