Enunciado

50 . Um indutor com indutância L = 0,300   H e resistência desprezível está ligado a uma bateria, uma chave S e dois resistores, R 1 = 12,0   V e R 2 = 16,0   V (Figura P 30.50 ). A bateria tem fem de 96,0   V e resistência interna desprezível. S é fechada em t = 0 . ( a ) Quais são as correntes i 1 , i 2 e i 3 logo após S ser fechada? ( b ) Quais são i 1 ,   i 2 e i 3 depois que S tiver sido fechada por muito tempo? ( c ) Qual é o valor de t para o qual i 3 tem metade do valor final que

você calculou no item ( b ) ? ( d ) Quando i 3 tem metade de seu valor final, quais são os valores de i 1 e i 2 ?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa juntos!

Em um circuito envolvendo um indutor, imediatamente após a chave ser fechada o indutor funciona como uma barreira para corrente, então a corrente que passa no ramo que ele estiver é zero.

Em um indutor temos que:

ε L = L d i d t

Então depois de muito tempo d i / d t tende a zero, logo não temos tensão no indutor e é como se ele não estivesse ali.

A tensão no resistor é dada por:

ε R = i R

Então essas informações vamos poder encontrar o que cada item quer!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer os valores das correntes quando t = 0 , como já vimos nesse instante o indutor funciona como uma barreira para corrente, logo i 3 = 0 .

Com essa condição nós só temos a bateria e o resistor R 1 , logo i 1 = i 2 , para char o valor dessas correntes podemos usar que:

ε R = i R

E como a tensão da bateria vai ser iguala a do resistor, já que só tem eles no circuito, temos:

i 2 = ε R 1

⇒ i 2 = 96 12

Então temos que:

i 1 = i 2 = 8   A

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Ele quer os valores das correntes quando t → ∞ , como já vimos nesse instante o indutor se comporta como se não estivesse ali, logo temos a seguinte relação entre as correntes:

i 1 = i 2 + i 3

Como os resistores estão ligados em paralelo eles tem a mesma tensão que a caba sendo igual a da bateria, assim:

ε R 1 = i 2 R 1

⇒ i 2 = 96 12

⇒ i 2 = 8   A

Agora a para i 3 temos:

ε R 2 = i 3 R 2

⇒ i 3 = 96 16

⇒ i 3 = 6   A

Então para i 1 , temos:

i 1 = 8   A + 6   A = 14   A

Passo 4

Agora para o item ( c ) .

Temos que encontrar t onde temos i 3 igual a metade do resultado que achamos para ela no item anterior.

Para encontrar esse tempo vamos usar a lei das malhas ao nosso favor no ramo onde i 3 passa, assim:

ε - i 3 R 2 - L d i 3 d t = 0

Vamos separar as variáveis e encontrar uma expressão para t , temos:

d i 3 d t = ε L - i R 2 L

⇒ d i 3 d t = - R 2 L - ε R 2 + i 3

⇒ d i 3 - ε R 2 + i 3 = - R 2 L d t

Integrando os dois lados, do lado esquerdo de 0 a i 3 e do lado direito de 0 a t , temos:

∫ 0 i 3 d i 3 - ε R 2 + i 3 = ∫ 0 t - R 2 L d t

⇒ ln ⁡ i 3 - ε R 2 - ε R 2 = - R 2 L t

⇒ t = - L R 2 ln ⁡ i 3 - ε R 2 - ε R 2

Substituindo os valores que conhecemos, lembrando que queremos i 3 = 6 2 = 3   A temos:

t = - 0,3 16 ln ⁡ 3 - 96 16 - 96 16

⇒ t = - 0,3 16 ln ⁡ 0,5

Então temos que:

t = 0,013   s

Passo 5

Agora vamos para o item ( d ) .

Queremos achar o valor de i 1 e i 2 para i 3 = 3   A . Como já vimos temos que:

i 1 = i 2 + i 3

O valor de i 3 já temos, precisamos achar o de i 2 que aí teremos o de i 1 .

Como no ramo onde i 2 passa só tem um resistor e a tenção no resistor é de 96   V , temos que:

i 2 = 96 12 = 8   A

Então para i 1 temos:

i 1 = 8   A + 3   A = 11   A

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

a

i 1 = i 2 = 8   A

i 3 = 0

( b )

i 1 = 14   A

i 2 = 8   A

i 3 = 6   A

( c )

t = 0,013   s

( d )

i 1 = 11   A

i 2 = 8   A

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