Enunciado

53. Um oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Um oscilador harmônico isotrópico possui uma função energia potencial dada por U x ,   y ,   z = 1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 ) . (Isotrópico significa que a constante da mola k ' é a mesma em todas as três direções das coordenadas.) a ) Mostre que, para este potencial, a solução da Equação ( 40.29 ) é dada por ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) . Nessa expressão, ψ n x ( x ) é uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão para o oscilador harmônico, Equação ( 40.22 ) , com energia E n x = n x + 1 2 ℏ ω . As funções ψ n y ( y ) e ψ n z ( z ) são análogas às funções de onda em uma dimensão para as direções y e z . Calcule a energia associada a essa função ψ . b ) Com base em seu resultado no item ( a ) calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. c ) Mostre que existe somente um estado (um conjunto de números quânticos n x ,   n y e n z ) para o nível fundamental, porém, existem três estados para o primeiro nível excitado.

Passo 1

Vamos começar então galera!

Para o primeiro item desse problema, vamos ter que mexer com a equação 40.29 , dada por:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + U ψ = E ψ

Vamos substituir ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) e U x ,   y ,   z = 1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 ) até encontrar coisas parecidas com a equação do oscilador harmônico unidimensional

Depois que encontrarmos uma fórmula para energia a parti do item ( a ) , vamos fazer a substituições necessárias.

Passo 2

Vamos então começar a mexer na equação que falei no passo 1 , temos que:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + U ψ = E ψ

Sabemos que ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) e U x ,   y ,   z = 1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 ) , então:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ x 2 + ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ y 2 + ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ z 2 + U ( ψ n x ψ n y ψ n z ) = E ψ

Cada derivada parcial fica dá seguinte forma:

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ x 2 = ∂ 2 ψ n x ∂ x 2 ψ n y ψ n z

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ y 2 = ∂ 2 ψ n y ∂ y 2 ψ n x ψ n z

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ z 2 = ∂ 2 ψ n z ∂ z 2 ψ n x ψ n y

Agora a expressão com a energia potencial fica da seguinte maneira:

1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 )   ( ψ n x ψ n y ψ n z )

= 1 2 k ' x 2 ψ n x ψ n y ψ n z + 1 2 k ' y 2 ψ n y ψ n x ψ n z + 1 2 k ' z 2 ψ n z ψ n x ψ n y

Assim nossa equação lá de cima pode ser escrita da seguinte maneira:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n x ∂ x 2 + 1 2 k ' x 2 ψ n x ψ n y ψ n z + - ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n y ∂ y 2 + 1 2 k ' y 2 ψ n y ψ n x ψ n z +

+ - ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n z ∂ z 2 + 1 2 k ' z 2 ψ n z ψ n x ψ n y = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

Cada termo entre parênteses é a expressão do oscilador para uma direção, então segundo o enunciado e a equação 40.22 , temos que:

E n x ψ n x ψ n y ψ n z + E n y ψ n y ψ n x ψ n z + E n z ψ n z ψ n x ψ n y = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

E n x + E n y + E n z ψ n x ψ n y ψ n z = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

Isso é verdadeiro já que a energia total E é a soma da energia de cada direção.

Passo 3

Do item a encontramos que:

E = E n x + E n y + E n z

Só que segundo o enunciado, temos:

E n x = n x + 1 2 ℏ ω

E n y = n y + 1 2 ℏ ω

E n z = n z + 1 2 ℏ ω

Então substituindo isso no que encontramos do item ( a ) , ficamos com:

E n x n y n z = n x + n y + n z + 3 2 ℏ ω

Mas o item ( b ) que saber a energia do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Então:

Para o estado fundamento temos n x = 0 ,   n y = 0 ,   n z = 0 , assim:

E 000 = 3 2 ℏ ω

Se você repara só tem essa combinação possível de números quânticos n para gerar esse estado, com isso já respondemos uma parte do item ( c ) .

Agora para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis que são n x = 1 ,   n y = 0 ,   n z = 0 ou n x = 1 ,   n y = 0 ,   n z = 0 ou n x = 0 ,   n y = 0 ,   n z = 1 , então temos três estados diferentes para o mesmo nível de energia, acabei de te mostrar a resposta da segunda parte do item ( c ) .

Então para cada combinação de n , temos:

E 100 = E 010 = E 001 = 5 2 ℏ ω

Resposta

( a )

ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) é solução da equação de Schrödinger para a situação descrita no enunciado.

( b )

E 000 = 3 2 ℏ ω

E 100 = E 010 = E 001 = 5 2 ℏ ω

( c )

Para o estado fundamental só temos uma combinação possível, já para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis.

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Exercício de Livro
Na função de onda Ψ ( x ) do nível fundamental do oscilador harmônico dada pela equação Ψ ( x ) = C e - m k x 2 / 2 h 2 π , Ψ 2 atinge seu valor máximo em x = 0 . a)Calcule a razão entre Ψ 2 para x =
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