Enunciado

48. Um oscilador harmônico é constituído por um corpo de massa 0,020   k g ligado a uma mola. Sua frequência é 1,50   H z , e a velocidade do corpo quando ele passa em sua posição de equilíbrio é 0,360   m / s . a ) Qual é o valor do número quântico n para seu nível de energia? b ) Qual é a diferença entre os níveis E n e E n + 1 ? Essa diferença pode ser medida?

Passo 1

Vamos prestar atenção primeiro no seguinte, quando o corpo passa na posição de equilíbrio ele só apresenta energia cinética, então a energia total é dada por:

E = 1 2 m v 2

Mas para encontrar o que o enunciado quer temos que usar o fato que em um oscilador harmônico podemos definir E também como:

E n = n + 1 2 ℏ ω

Basta igualar essas duas expressões e isolar n e achar seu valor.

Mas não temos o valor de ω , mas o enunciado nos da f , então se lembrarmos que:

ω = 2 π f

Ficamos bem tranquilos.

Agora para o item ( b ) , temos que prestar atenção no seguinte, se olharmos a expressão da energia que contém n da seguinte forma:

E n = n ℏ ω + 1 2 ℏ ω

Podemos ver que a diferença de um estado E n para um estado E n + 1 dada por:

E n + 1 = ( n + 1 ) ℏ ω + 1 2 ℏ ω

É apena um fator ℏ ω , então basta calcular quando vale esse fator e encontraremos a diferença que queremos.

Passo 2

Vamos então encontrar n , igualando as duas expressões para E , temos:

1 2 m v 2 = n + 1 2 ℏ ω

⇒ 1 2 m v 2 = n ℏ ω + 1 2 ℏ ω

⇒ n ℏ ω = 1 2 m v 2 - 1 2 ℏ ω

Assim, temos que:

n = 1 2 m v 2 ℏ ω - 1 2

Lembrando que ℏ = h / 2 π e que ω = 2 π f , então temos que:

n = 1 2 m v 2 h f - 1 2

A constante de Planck é dada por h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s . Agora substituindo tudo o que sabemos, ficamos com:

n = 1 2 ( 0,02 ) ( 0,36 ) 2 ( 6,63 ⋅ 10 - 34 ) ( 1,5 ) - 1 2

= 0,002592 19,89 ⋅ 10 - 34 - 1 2

Então temos que:

n = 1,30 ⋅ 10 30

Passo 3

Agora vamos calcular o valor de ℏ ω , para saber a diferença entre os dois estados de energia consecutivos, temos:

ℏ ω = h f

⇒ h f = ( 6,63 ⋅ 10 - 34 ) ( 1,5 )

= 9,95 ⋅ 10 - 34   J

Como vocês podem ver essa diferença de energia é muito pequena para ser detectada pela eletrônica que temos hoje em dia.

Resposta

( a )

n = 1,30 ⋅ 10 30

( b )

9,95 ⋅ 10 - 34   J

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