Enunciado

54. Um oscilador harmônico anisotrópico em três dimensões. A função energia potencial de um oscilador harmônico é dada por U x , y , z = 1 2 k 1 ' x 2 + y 2 + 1 2 k 2 '   z 2 , onde k 1 ' > k 2 ' . Esse oscilador é chamado de anisotrópico porque a constante da mola não é a mesma em todas as três direções das coordenadas. a ) Determine a expressão geral dos níveis de energia desse oscilador (veja o Problema 40.53 ). b ) Com base em seu resultado encontrado no item ( a ) calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador. c ) Quantos estados (conjuntos diferentes de números quânticos n x , n y e n z ) existem para o nível fundamental e para o primeiro nível excitado? Compare o resultado com o item ( c ) do Problema 40.53 .

Passo 1

Vamos começar então galera!

Para o primeiro item desse problema, vamos ter que mexer com a equação 40.29 , dada por:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + U ψ = E ψ

Vamos substituir ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) e U x , y , z = 1 2 k 1 ' x 2 + y 2 + 1 2 k 2 '   z 2 , até encontrar coisas parecidas com a equação do oscilador harmônico unidimensional

Como temos constantes elásticas diferentes teremos ω diferentes, da seguinte maneia:

ω 1 = k 1 ' m                     ω 2 = k 2 ' m

Depois que encontrarmos uma fórmula para energia a parti do item ( a ) , vamos fazer a substituições necessárias.

Passo 2

Vamos então começar a mexer na equação que falei no passo 1 , temos que:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + U ψ = E ψ

Sabemos que ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) e U x ,   y ,   z = 1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 ) , então:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ x 2 + ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ y 2 + ∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ z 2 + U ( ψ n x ψ n y ψ n z ) = E ψ

Cada derivada parcial fica dá seguinte forma:

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ x 2 = ∂ 2 ψ n x ∂ x 2 ψ n y ψ n z

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ y 2 = ∂ 2 ψ n y ∂ y 2 ψ n x ψ n z

∂ 2 ψ n x ψ n y ψ n z ∂ z 2 = ∂ 2 ψ n z ∂ z 2 ψ n x ψ n y

Agora a expressão com a energia potencial fica da seguinte maneira:

1 2 k 1 ' x 2 + y 2 + 1 2 k 2 '   z 2 ( ψ n x ψ n y ψ n z )

= 1 2 k 1 ' x 2 ψ n x ψ n y ψ n z + 1 2 k 1 ' y 2 ψ n y ψ n x ψ n z + 1 2 k 2 ' z 2 ψ n z ψ n x ψ n y

Assim nossa equação lá de cima pode ser escrita da seguinte maneira:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n x ∂ x 2 + 1 2 k 1 ' x 2 ψ n x ψ n y ψ n z + - ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n y ∂ y 2 + 1 2 k 1 ' y 2 ψ n y ψ n x ψ n z +

+ - ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ n z ∂ z 2 + 1 2 k 2 ' z 2 ψ n z ψ n x ψ n y = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

Cada termo entre parênteses é a expressão do oscilador para uma direção, então segundo o problema 40.53 e a equação 40.22 , temos que:

E n x ψ n x ψ n y ψ n z + E n y ψ n y ψ n x ψ n z + E n z ψ n z ψ n x ψ n y = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

E n x + E n y + E n z ψ n x ψ n y ψ n z = E ( ψ n x ψ n y ψ n z )

Isso é verdadeiro já que a energia total E é a soma da energia de cada direção.

Passo 3

Do item passo anterior encontramos que:

E = E n x + E n y + E n z

Só que segundo o enunciado, temos:

E n x = n x + 1 2 ℏ ω 1

E n y = n y + 1 2 ℏ ω 1

E n z = n z + 1 2 ℏ ω 2

Então ficamos com:

E n x n y n z = n x + n y + 1 ℏ ω 1 + n z + 1 2 ℏ ω 2

Passo 4

o item ( b ) que saber a energia do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Então:

Para o estado fundamento temos n x = 0 ,   n y = 0 ,   n z = 0 , assim:

E 000 = ℏ ω 1 + 1 2 ω 2

Se você repara só tem essa combinação possível de números quânticos n para gerar esse estado, com isso já respondemos uma parte do item ( c ) .

Agora para o primeiro estado excitado temos uma combinação possível que é n x = 0 ,   n y = 0 ,   n z = 1 , então temos somente um estado para o mesmo nível de energia, acabei de te mostrar a resposta da segunda parte do item ( c ) .

Então para a combinação de n , temos:

E 001 = ℏ ω 1 + 3 2 ω 2

Resposta

( a )

E n x n y n z = n x + n y + 1 ℏ ω 1 + n z + 1 2 ℏ ω 2

( b )

E 000 = ℏ ω 1 + 1 2 ω 2

E 001 = ℏ ω 1 + 3 2 ω 2

( c )

Para o estado fundamental só temos uma combinação possível e para o primeiro estado excitado temos apenas uma combinação possível também.

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