Enunciado

59. Os prótons, os nêutrons e muitas outras partículas são constituídos por partículas fundamentais chamadas quarks e antiquarks (a antimatéria dos quarks). Os quarks e os antiquarks podem formar estados ligados com uma variedade de níveis de energia diferentes,

cada um dos quais corresponde a uma partícula diferente que pode ser observada em laboratório. Como um exemplo, a partícula ψ é uma partícula correspondente ao estado ligado de mais baixa energia do chamado quark charm e de seu antiquark, com uma energia de repouso igual a 3097   M e V ; a partícula ψ ( 2 S ) é outro estado excitado dessa mesma combinação quark-antiquark, com uma energia de repouso igual a 3686   M e V . Uma representação simplificada da energia potencial da interação entre um quark e um antiquark é dada por U ( x ) = A x , onde A é uma constante positiva e x representa a distância entre o quark e o antiquark. Você pode usar a aproximação WKB (Problema desafiador 40.57 ) para determinar as energias dos estados ligados para essa função energia potencial. Na aproximação WKB, os níveis de energia são obtidos pelas soluções da equação

∫ a b 2 m [ E - U ( x ) ]   d x = n h 2                     ( n = 1,2 , 3 , … )

onde E é a energia, U ( x ) é a função energia potencial e x = a e x = b são os dois pontos clássicos de inversão (os pontos em que E é igual à energia potencial, de modo que a energia cinética newtoniana é igual a zero). a ) Determine os pontos de inversão clássicos para a energia E e para a energia potencial U ( x ) = A x . b ) Calcule a integral anterior e mostre que os níveis de energia na aproximação WKB são dados por

E n = 1 2 m 3 m A h 4 2 / 3 n 2 / 3                   ( n = 1,2 , 3 , … )

(Sugestão: a integral é par, de modo que a integral de - x até x é igual ao dobro da integral de 0 até x .) c ) A diferença de energia entre dois níveis adjacentes aumenta, diminui ou permanece constante à medida que o número n aumenta? Como esse resultado se compara com os níveis de energia do oscilador harmônico? E com os níveis de energia de uma partícula em uma caixa? Você é capaz de sugerir alguma regra simples que relacione as diferenças de

energia entre dois níveis adjacentes sucessivos com a forma da função energia potencial?

Passo 1

Bem, nesse problema teremos que nos pontos de inversão temos que é E = U ( x ) , assim:

E = A x

Então basta isolarmos x e encontramos o que o item a quer.

Para o item ( b ) temos que resolver a integral mostrada no enunciado para uma energia potencial dada no enunciado utilizando os pontos que encontramos em ( a ) como limites de integração.

Para o item ( c ) temos que analisar as diferenças energia de níveis consecutivos e ver se aumenta ou diminui essa diferença e depois com parar com um poço infinito e com o oscilador.

Passo 2

Vamos lá então, vamos começar com item ( a ) ,temos o seguinte:

E = A x

Agora isolando x temos:

⇒ x = E A

⇒ x = ± E A

Passo 3

Agora vamos calcular a integral pedida em ( b ) , temos o seguinte:

∫ a b 2 m E - U ( x )   d x = n h 2

Fazendo a = - E / A , b = E / A e sabendo que U x = A x , ficamos com:

∫ - E / A E / A 2 m E - A x   d x = n h 2

Lembrando que a função que está sendo integrada é par, então:

2 ∫ 0 E / A 2 m E - A x   d x = n h 2

Agora para resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição, temos:

u = 2 m E - A x

d u = - 2 m A   d x

⇒ d x = - 1 2 m A d u

Nossos limites de integração ficam da seguinte forma com essa substituição.

x = 0 → u = 2 m E

x = E / A → u = 0

Então nossa integral fica da seguinte forma;

- 1 m A ∫ 2 m E 0 y 1 / 2   d y = n h 2

⇒ - 2 3 m A y 3 / 2 2 m E 0 = n h 2

Então temos que;

2 3 m A 2 m E 3 / 2 = n h 2

Isolando E temos que:

2 m E 3 / 2 = 3 m A h 4 n

⇒ 2 m E = 3 m A h 4 2 / 3 n 2 / 3

Finalmente encontramos que:

E = 1 2 m 3 m A h 4 2 / 3 n 2 / 3

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) , vamos analisar a diferença entre níveis de energia consecutivos, temos o seguinte:

E = 1 2 m 3 m A h 4 2 / 3 n 2 / 3

Como o termo que multiplica n 2 / 3 é constante ele não contribui para diferença de energia o importante é o n .

Primeiro vamos fazer a diferença de energia para n = 0 e n = 1 , temos:

1 2 / 3 - 0 2 / 3 = 1

Agora para n = 1 e n = 2 , assim:

2 2 / 3 - 1 2 / 3 = 0,59

Agora entre n = 2 e n = 3 , assim:

3 2 / 3 - 2 2 3 = 0,49

Como podemos ver a diferença de energia vai diminuindo conforme o n aumenta.

A diferença de energia de um oscilador harmônico continua a mesma com o aumento de n e a do poço infinito aumenta conforme n aumenta.

Uma regra básica que otimiza tudo é que se o grau da energia potencial for maior que 2 a diferença de energia aumenta com o n e se o grau for menor que 2 a diferença de energia diminui com o aumento de n .

Resposta

( a )

x = ± E A

( b )

E = 1 2 m 3 m A h 4 2 / 3 n 2 / 3

( c )

A diferença de energia vai diminuindo conforme o n aumenta.

Se o grau da energia potencial for maior que 2 a diferença de energia aumenta com o n e se o grau for menor que 2 a diferença de energia diminui com o aumento de n .

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Mostre que as funções de estado fundamental e a primeira onda de estado excitado do oscilador harmônico são ortogonais; isto é, mostre que
A função de onda para o estado n = 2 do oscilador harmônico é ψ2 () x = A2 2ax2 - 1 () 2 e-ax 2, onde A2 é a constante de normalização e a é uma constante positiva. Mostre que as funções de onda para