Enunciado

Use o procedimento do Exemplo 35-1 para verificar se a energia do primeiro estado excitado do oscilador harmônico é 2 03 E1 = = ω. (Nota: Em vez de resolver novamente, use o resultado do passo 8: 0 = 2 a = 1 mω obtido no Exemplo 35-1.)

Passo 1

A função de onda para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico é:

ψ 1 x = A 1 x e - a x 2

Derivando a primeira vez, pela regra do produto:

d ψ 1 x d x = A 1 e - a x 2 + A 1 x e - a x 2 '

A derivada e - a x 2 ' , pela regra da cadeia:

e - a x 2 ' = - 2 a x e - a x 2

Assim:

d ψ 1 x d x = A 1 e - a x 2 + A 1 x - 2 a x e - a x 2

d ψ 1 x d x = A 1 e - a x 2 - 2 A 1 a x 2 e - a x 2

Derivando mais uma vez:

d 2 ψ 1 x d x 2 = - 2 a A 1 x e - a x 2 - 4 A 1 a x e - a x 2 - 4 A 1 a 2 x 3 e - a x 2

d 2 ψ 1 x d x 2 = - 2 a A 1 x e - a x 2 - 4 A 1 a x e - a x 2 + 4 A 1 a 2 x 3 e - a x 2

Colocando A 1 e - a x 2 em evidência:

d 2 ψ 1 x d x 2 = A 1 e - a x 2 - 2 a x - 4 a x + 4 a 2 x 3

d 2 ψ 1 x d x 2 = A 1 e - a x 2 - 6 a x + 4 a 2 x 3

Passo 2

Assim, podemos substituir na equação de Schrödinger:

- ℏ 2 2 m A 1 e - a x 2 - 6 a x + 4 a 2 x 3 + 1 2 m ω 0 2 x 2 ( A 1 x e - a x 2 ) = E 1 A 1 x e - a x 2

Dividindo tudo por A 1 e - a x 2 :

- ℏ 2 2 m - 6 a x + 4 a 2 x 3 + 1 2 m ω 0 2 x 3 = E 1 x

- ℏ 2 2 m 4 a 2 x 3 + ℏ 2 2 m 6 a x + 1 2 m ω 0 2 x 3 = E 1 x

Substituindo a do passo 8 do exemplo:

- ℏ 2 2 m 4 m ω 0 2 ℏ 2 x 3 + ℏ 2 2 m 6 m ω 0 2 ℏ x + 1 2 m ω 0 2 x 3 = E 1 x

Resolvendo essa equação para achar E 1 :

E 1 = 3 2 ℏ ω 0

E 1 = 3 E 0

Resposta

Provado no passo a passo.

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