Enunciado

58. A intensidade da luz na figura da difração de Fraunhofer de uma fenda única é

I = I 0 sen ⁡ γ γ 2

onde

γ = π a sen ⁡ θ λ

a ) Mostre que a equação que fornece os valores de γ correspondentes aos máximos é dada por tg ⁡ γ = γ . b ) Determine os três menores valores positivos de γ que são soluções dessa equação. (Sugestão: você poderá usar o método das tentativas. Estime um valor inicial para γ e ajuste sua tentativa de modo a tornar o valor de tg ⁡ γ o mais próximo possível de γ . Uma solução gráfica da equação é muito útil para fazer a estimativa do valor inicial.)

Passo 1

Para mostrar o que é pedido em ( a ) vamos usar nossos conhecimentos de cálculo e lembrar que para uma função ter máximo a derivada dela tem que ser zero.

Então vamos derivar a intensidade I em relação a γ e ir mexendo na expressão para encontrarmos o que o item ( a ) quer.

Para o item ( b ) vamos usar a expressão que queremos chegar em ( a ) , temos o seguinte:

tg ⁡ γ = γ

Podemos definir uma função f γ = γ - tg ⁡ γ e fazer o gráfico dessa função e ver os valores de γ que zeram essa função, pois:

0 = γ - tg ⁡ γ

⇒ γ = tg ⁡ γ

Passo 2

Vamos mostrar o que é pedido em ( a ) , temos o seguinte:

I = I 0 sen ⁡ γ γ 2

Fazendo d I / d γ , temos:

d I d γ = I 0 d d γ sen ⁡ γ γ 2

E temos que:

I 0 d d γ sen ⁡ γ γ 2 = 0

⇒ 2 sen ⁡ γ γ cos ⁡ γ γ - sen ⁡ γ γ 2 = 0

Manipulando essa equação um pouco.

cos ⁡ γ γ - sen ⁡ γ γ 2 = 0

⇒ cos ⁡ γ γ = sen ⁡ γ γ 2

⇒ γ cos ⁡ γ = sen ⁡ γ

Dividindo os dois lados por sen ⁡ γ , temos que:

γ = tg ⁡ γ

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico da função f ( γ ) que comentei no passo 1 com vocês e encontrar valores de γ que zerem essa função. Temos:

O item ( b ) quer os três menores valores positivos de γ .

Olhando o gráfico dá para ver mais ou menos que a função zera em γ = 4,49   r a d , γ = 7,73   r a d e em γ = 10,9   r a d

Se testarmos esses valores na nossa função vemos que ela bem dizer zera.

Resposta

( a )

γ = tg ⁡ γ

( b )

  γ = 4,49   r a d

γ = 7,73   r a d

  γ = 10,9   r a d

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