Enunciado

69. Uma rede de radar. Em um sistema típico de radar, a antena gira e varre todas as direções para captar as ondas provenientes do céu. No entanto, no sistema com uma rede de radar, as antenas permanecem fixas e o feixe é varrido eletronicamente. Para entender como esse sistema funciona, considere uma rede com N antenas agrupadas ao longo de um eixo O x horizontal nos pontos x = 0 , ± d , ± 2 d … ± ( N - 1 ) d / 2 . (O número N é ímpar) Cada antena

emite uma radiação uniforme ao longo do plano x y . Todas as antenas emitem radiação coerentemente com a mesma amplitude E 0 e o mesmo comprimento de onda λ . Contudo, a fase relativa δ entre duas antenas consecutivas pode ser variada. Se a antena situada em

x = 0 emite um sinal dado por E 0 cos ⁡ ω t medido em um ponto próximo da antena, a antena em x = d emite um sinal dado por E 0 cos ⁡ ( ω t + δ ) medido em um ponto próximo daquela antena. A expressão correspondente para x = -   d é E 0 cos ⁡ ( ω t - δ ) ; para a antena em x = ± 2 d , a expressão correspondente é E 0 cos ⁡ ( ω t ± 2 δ ) ; e assim por diante. a ) Quando δ = 0 , a figura de interferência a uma distância grande da antena em comparação com d possui um máximo principal para θ = 0 (ou seja, ao longo do eixo +   O y , perpendicular ao eixo que contém as antenas). Mostre que, para d < λ , esse é o único máximo principal da interferência no intervalo angular - 90 ° < θ < + 90 ° . Portanto, esse máximo principal descreve um feixe emitido na direção θ = 0 . Conforme descrito na Seção 36.4 , se N é grande, o feixe pode apresentar grande intensidade e se tornar bastante estreito. b ) Se δ ≠ 0 , mostre que o máximo descrito no item ( a ) está localizado em

θ = arcsen ⁡ δ λ 2 π d

onde δ é medido em radianos. Portanto, fazendo δ variar de valores positivos até valores negativos e vice-versa, o que pode ser feito eletronicamente com facilidade, o feixe pode ser varrido para frente e para trás em torno da direção θ = 0 . c ) Um radar de previsão de tempo deve ser instalado sobre um avião que emite ondas de rádio com frequência de 8800   M H z . A unidade usa uma rede com 15 antenas com 28,0   c m de comprimento (desde a antena de uma extremidade até a outra antena na extremidade oposta). Quais devem ser o maior e o menor valor de δ (ou seja, o maior valor positivo e o maior valor negativo) para que o feixe de radar

possa varrer até 45 ° à esquerda e à direita da direção do vôo do avião? Dê sua resposta em radianos.

Passo 1

Bem galera esse problema tem um enunciado bem grande e pode nos confundir, então vamos resolver os itens do enunciado em cada passo.

Passo 2

No item temos que provar que para d < λ temos somente um máximo em θ = 0 . A expressão que define a existência de máximos é dada por:

d sen ⁡ θ = m λ

Bem, olhando essa fórmula no primeiro máximo ( m = 1 ) em θ = 90 ° , temos que:

d = λ

Agora se considerarmos d < λ , temos que o primeiro máximo ( m = 1 ) só pode ocorrer para θ > 90 ° ou θ < - 90 °

Então no caso em que d < λ temos que o único máximo entre - 90 ° < θ < 90 ° ocorro em θ = 0 .

Passo 3

Agora vamos analisar o item ( b ) .

No máximo principal, quando δ = 0 , a diferença de fase devido à diferença de caminho entre as fendas adjacentes é dada por:

ϕ = 2 π d λ sen ⁡ θ

Mas quando adicionamos ou retirarmos uma fase relativa δ temos que a soma das fases ainda tem que ser zero para termos um máximo, então:

ϕ ± δ = 0

⇒ 2 π d λ sen ⁡ θ ± δ = 0

⇒ 2 π d λ sen ⁡ θ = ± δ

Temos que:

sen ⁡ θ = δ λ 2 π d

Assim temos que:

θ = arcsen ⁡ δ λ 2 π d

Passo 4

Agora para o item ( c ) vamos usar a expressão que chegamos no item ( b ) e isolar δ para encontrarmos seu valor.

Temos o seguinte:

sen ⁡ θ = ± δ λ 2 π d

⇒ δ = ± 2 π d λ sen ⁡ θ

Nós já temos todos os valores exceto d que no caso é a posição das antenas. No enunciado fala que temos 15 antenas em 0,28   m , assim:

d = 0,28 15

= 0,0186

E lembrando que

λ = c f

Temos que:

δ = ± 2 π ( 0,0186 ) f c sen ⁡ θ

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

δ = ± 2 π ( 0,0186 ) ( 8,8 ⋅ 10 9 ) 3 ⋅ 10 8 sen ⁡ ( 45 ° )

= ± 0,727 ⋅ 10 9 3 ⋅ 10 8

Assim temos:

δ = ± 2,42   r a d

Resposta

( a )

Só temos máximo em θ = 0 quando d < λ .

( b )

θ = arcsen ⁡ δ λ 2 π d

( c )

δ = ± 2,42   r a d

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