Enunciado

58. Mostre que a lei de Hooke para uma mola ideal é uma força conservativa. Para tal, calcule o trabalho realizado pela mola quando ela é distendida de A para B. Depois, calcule o trabalho feito por ela quando se expande de A para C, que está além de B, e depois retorna de C para B.

Passo 1

Opa! Aqui vamos nós de novo!

Olha só! Pra ficar mais mais fácil, bora fazer uma ilustraçãozinha do que está acontecendo em nosso problema...

Bom! Estamos trabalhando com a hipótese da força elástica ser uma força conservativa (apesar de sabermos que ela é de fato) e também com o nosso bloquinho sendo uma partícula. É que seria meio trash desenhar uma partícula, né!? rs rs.

Para uma força conservadora, o trabalho realizado em uma partícula quando ela se move de uma posição inicial para uma posição final é independente do caminho. Mostraremos que o trabalho de A para C e depois para B , W A → C → B , é igual ao trabalho de A para B , W A → B , para a força da mola. Sendo assim, o trabalho realizado por uma força de mola F = - k x , é dado por...

W = ∫ F d x = - ∫ x i x f k x d x

Passo 2

Desse modo, vamos ver o trabalho para a partícula ir do ponto A ao ponto B ...

W A → B = - ∫ x A x B k x d x = - k x 2 2 x A x B

W A → B = - k x B 2 - x A 2 2

Depois, bora ver o trabalho para a partícula ir do ponto A até o C :

W A → C = - ∫ x A x C k x d x = - k x 2 2 x A x C

W A → C = - k x C 2 - x A 2 2

E por último, o trabalho de C até B :

W C → B = - ∫ x C x B k x d x = - k x 2 2 x C x B

W C → B = - k x B 2 - x C 2 2

Somando W A → C com W C → B :

W A → C + W C → B = - k x C 2 - x A 2 2 - k x B 2 - x C 2 2

W A → C + W C → B = - k x C 2 + k x A 2 - k x B 2 + k x C 2 2

W A → C + W C → B = k x A 2 - k x B 2 2

W A → C + W C → B = - k x B 2 - x A 2 2

Esse é exatamente o trabalho para a partícula ir de A até B ...

W A → C + W C → B = W A → B

Logo tá mais que provado que nossa força elástica é conservativa e que o trabalho graças a ação dessa força em uma partícula quando ela se move de uma posição inicial para uma posição final é independente do caminho!

Resposta

W A → C → B = W A → B = - k x B 2 - x A 2 2

F o r ç a   e l á s t i c a   é   c o n s e r v a t i v a

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