Enunciado

60. O Universo em expansão. Um cosmologista que está estudando a luz vinda de uma galáxia identifica o espectro de hidrogênio, mas descobre que os comprimentos de ondas estão um tanto deslocados em relação aos encontrados em laboratório. No laboratório, a linha de H α apresenta um comprimento de onda de 656,3   n m . O cosmologista está usando uma rede de difração com 5758   l i n h a s / c m na primeira ordem e descobre que a primeira franja brilhante

para a linha do H α ocorre com um ângulo de ±   23,41 ° em relação à região central. Quão rápido está se deslocando a galáxia? Expresse a sua resposta em m / s e como uma porcentagem da velocidade da luz. Ela está se aproximando ou se afastando de nós?

( S u g e s t ã o : ver Seção 16.8 .)

Passo 1

Então meus amigos, essa mudança no comprimento de onda na linha de H α é por conta de um efeito Doppler devido a movimentação da galáxia.

Então vamos usar essa informação para encontrar a velocidade da galáxia através da seguinte equação do efeito Doppler:

f R = c - v c + v f S

Onde f S é a frequência natural de emissão da linha de H α e f R a frequência detectada vinda da galáxia e v é a velocidade da galáxia.

Mas o enunciado não nos forneceu frequência, só o comprimento de onda encontrado em laboratório ( 656   n m ) , mas lembrando que:

f = c λ

Então o comprimento de onda dado pelo enunciado é referente a f S .

Então para conseguirmos encontrar v precisamos do comprimento de onda relacionado a f R que é o detectado vindo da galáxia.

Podemos achar esse valor usando a informação do enunciado sobre o ângulo ( ± 23,41 ° ) que a primeira franja brilhante da linha de H α vindo da galáxia, faremos isso através da seguinte equação:

d sen ⁡ θ = m λ

Onde:

d = 1 N

É só isolar λ e substituir o que sabemos, lembrando que m = 1 já que se trata da primeira franja.

Passo 2

Vamos então encontrar o λ referente a f R , temos o seguinte:

1 N sen ⁡ θ = m λ R

⇒ λ R = sen ⁡ θ m N

Lembrando que m = 1 .

λ R = sen ⁡ θ N

Substituindo os valores que sabemos, temos:

λ R = sen ⁡ 23,41 ° 575800

⇒ λ R = 690 ⋅ 10 - 9   m

Agora vamos partir para encontrar a velocidade da galáxia.

Passo 3

Lá do passo 1 temos a seguinte expressão:

f R = c - v c + v f S

⇒ c - v c + v = f R 2 f S 2

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

c - v c + v = f R 2 f S 2

⇒ c - v = f R 2 f S 2 ( c + v )

⇒ v f R 2 f S 2 + v = c - c f R 2 f S 2

⇒ v 1 + f R 2 f S 2 = c 1 - f R 2 f S 2

Assim temos:

v = 1 - f R 2 / f S 2 ( 1 + f R 2 / f S 2 ) c

Passo 4

Agora vamos pegar a expressão que chegamos no passo anterior e substituir as frequências por:

f = c λ

Temos então:

v = 1 - λ S 2 / λ R 2 ( 1 + λ S 2 / λ R 2 ) c

Substituindo os valores que sabemos temos:

v = 1 - 656,3 2 / 690 2 ( 1 + 656,3 2 / 690 2 ) ( 3 ⋅ 10 8 )

= 1 - 0,905 1 + 0,905 ( 3 ⋅ 10 8 )

Temos então que:

v = 1,5 ⋅ 10 7   m / s

Como a velocidade é positiva temos que a galáxia está se afastando de nós.

Se dividirmos esse valor pela velocidade da luz temos a porcentagem da velocidade da luz que essa velocidade corresponde.

Assim:

1,5 ⋅ 10 7 3 ⋅ 10 8 = 0,05 → 5 %

Resposta

v = 1,5 ⋅ 10 7   m / s

v = 5 %   c

A galáxia está se afastando.

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