Enunciado

55. Medindo o índice de refração. Uma fenda estreita iluminada por uma luz de frequência f produz sua primeira faixa escura em um ângulo de ± 38 , 2 ° no ar. Quando todo o dispositivo (fenda, tela e espaços intermediários) é imerso em um líquido transparente desconhecido, as primeiras faixas escuras da fenda ocorrem com um ângulo de ± 17 , 4 ° . Encontre o índice de refração do líquido.

Passo 1

Uma coisa que temos que ter em mente para esse problema é que, tanto no ar quanto no líquido os ângulos onde ocorrem as faixas escuras é dado pela seguinte equação:

sen ⁡ θ = m λ a

E o que vai mudar nesse caso do enunciado é θ , pois λ também muda porque depende do índice de refração do meio.

Então temos uma equação para o ar.

sen ⁡ θ a r = m λ a r a

E uma para o líquido.

sen ⁡ θ l i q u i d o = m λ l i q u i d o a

Como eu disse antes é o λ que muda com o índice de refração, então vai ser a parti dele que vamos encontrar o índice de refração n , já que:

λ l í q u i d o = λ a r n

Para chegar em algo que faça sentido, vamos mexer com as equações que mostrei mais acima.

Passo 2

Então galera, temos o seguinte:

sen ⁡ θ a r = m λ a r a

⇒ a = m λ a r sen ⁡ θ a r

sen ⁡ θ l í q u i d o = m λ l í q u i d o a

⇒ a = m λ l ì q u i d o sen ⁡ θ l i q u i d o

Igualando essas duas equações, temos que:

m λ a r sen ⁡ θ a r = m λ l ì q u i d o sen ⁡ θ l i q u i d o

No nosso caso teremos m = 1 , já que temos os ângulos para a primeira franja escura. Assim:

λ a r sen ⁡ θ a r = λ l ì q u i d o sen ⁡ θ l i q u i d o

Passo 3

Agora vamos deixar a expressão que encontramos no passo anterior parecida com:

λ l í q u i d o = λ a r n

Assim, temos que isolar λ l í q u i d o , assim:

λ l ì q u i d o = λ a r sen ⁡ θ l i q u i d o sen ⁡ θ a r

Comparando as duas expressões podemos ver que:

n = sen ⁡ θ a r sen ⁡ θ l í q u i d o

O enunciado nos dá os valores de θ l i q u i d o e θ a r , então:

n = sen ⁡ 38,2 ° sen ⁡ 17,4 °

= 0,6184 0,299

Então temos que:

n = 2,07

Resposta

n = 2,07

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