Enunciado

62. Em certos processos de desintegração radioativa beta, a partícula beta (um elétron) sai do núcleo atômico com uma velocidade de 99,95 % da velocidade da luz em relação ao núcleo em desintegração. Se esse núcleo está se deslocando com 75,0 % da velocidade da luz, encontre a velocidade do elétron emitido em relação ao sistema de referência ao laboratório se o elétron for emitido a ) no mesmo sentido em que o núcleo está se deslocando e b ) no sentido oposto da velocidade do núcleo. c ) Em cada caso das partes ( a ) e ( b ) , calcule a energia cinética do elétron em relação ( i ) ao sistema do laboratório e ( i i ) ao sistema de referência do núcleo em desintegração.

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar nome aos referenciais, o referencial do laboratório vamos chamar de S e o referencial do núcleo de S ' .

Com isso temos o seguinte, a velocidade da partícula beta em relação ao núcleo é:

v ' = 0,9995 c

A velocidade do referencial S ' em relação ao laboratório que é a velocidade do núcleo em relação ao laboratório é:

u = 0,75 c

Tanto no item ( a ) quanto no item ( b ) o enunciado quer a velocidade do elétron em relação a S , o que muda é o sentido em que o elétron se move.

Podemos encontrar essa velocidade com a seguinte equação:

v = v ' + u 1 + u v ' / c 2

Para achar a energia cinética pedida em ( c ) , basta usarmos a equação da energia cinética dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

Na situação que a partícula tem o mesmo sentido que o átomo, no caso ( i ) vamos usar a velocidade que achamos em ( a ) e para o caso ( i i ) a velocidade que já conhecíamos do enunciado.

E na situação que a partícula tem o sentido contrário ao do átomo, no caso ( i ) vamos usar a velocidade que achamos em ( b ) e para o caso ( i i ) a velocidade que já conhecíamos do enunciado.

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade pedida em ( a ) , quando a partícula tem o mesmo sentido do átomo.

Temos que nesse caso que v ' = 0,9995 c .

Então:

v = v ' + u 1 + u v ' / c

Substituindo o que sabemos, temos:

v = 0,9995 c + 0,75 c 1 + ( 0,9995 c ) ( 0,75 c ) / c 2

⇒ v = 1,7495 c 1,749625

⇒ v = 0,999929 c

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade pedida em ( b ) , quando a partícula tem o sentido oposto do átomo.

Temos que nesse caso que v ' = - 0,9995 c .

Então:

v = v ' + u 1 + u v ' / c

Substituindo o que sabemos, temos:

v = - 0,9995 c + 0,75 c 1 + ( - 0,9995 c ) ( 0,75 c ) / c 2

⇒ v = - 0,2495 c 0,250375

⇒ v = - 0 , 9965 c

Passo 4

Agora partiu item ( c ) , mas vamos fazer cada situação em um passo diferente.

Primeiro a situação que a partícula tem o mesmo sentido que o núcleo.

A energia cinética é dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

Primeiro vamos encontrar para o caso ( i ) onde temos v = 0 , 999929 c . Então:

K = m c 2 1 - ( 0,999929 c ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 0 , 999858005 - 1

= m c 2 ( 82,92 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 9,109 ⋅ 10 - 31 3 ⋅ 10 8 2 ( 82,92 )

⇒ K = 6,8 ⋅ 10 - 1 2   J

Agora vamos encontrar para o caso ( i i ) onde temos v = 0,9995 c . Então:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 - ( 0,9995 c ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 0,99900025 - 1

= m c 2 ( 30,63 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 9,109 ⋅ 10 - 31 3 ⋅ 10 8 2 ( 30,63 )

⇒ K = 2,51 ⋅ 10 - 12   J

Passo 5

Agora a situação que a partícula tem o sentido oposto ao núcleo.

A energia cinética é dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

Primeiro vamos encontrar para o caso ( i ) onde temos v = - 0,99 65 c . Então:

K = m c 2 1 - ( - 0,99 65 c ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 0 , 99301225 - 1

= m c 2 ( 10,96 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 9,109 ⋅ 10 - 31 3 ⋅ 10 8 2 ( 10,96 )

⇒ K = 8,98 ⋅ 10 - 1 3   J

Agora vamos encontrar para o caso ( i i ) onde temos v = 0,9995 c . Então:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 - ( 0,9995 c ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 0,99900025 - 1

= m c 2 ( 30,63 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 9,109 ⋅ 10 - 31 3 ⋅ 10 8 2 ( 30,63 )

⇒ K = 2,51 ⋅ 10 - 12   J

Resposta

( a )

v = 0,999929 c

( b )

v = - 0,9965 c

( c )

Primeira situação:

K i = 6,8 ⋅ 10 - 12   J

K i i = 2,51 ⋅ 10 - 12   J

Segunda situação:

K i = 8,98 ⋅ 10 - 13   J

K i i = 2,51 ⋅ 10 - 12   J

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