Enunciado

44. Criando uma partícula. Dois prótons (cada um com uma massa de repouso M = 1,67 ⋅ 10 - 27   k g ) estão se deslocando inicialmente com velocidades iguais em sentidos opostos. Os prótons continuam a existir depois da colisão que também produz uma partícula η 0 (ver Capítulo 44 ). A massa de repouso do η 0 é m = 9,75 ⋅ 10 - 28   k g . a ) Se os dois prótons e a partícula η 0 estão ambos em repouso depois da colisão, encontre a velocidade inicial dos prótons, expressa como uma fração da velocidade da luz. b ) Qual é a energia cinética de cada próton? Expresse a sua resposta em M e V . c ) Qual é a energia de repouso de η 0 , expressa em M e V ? d ) Discuta a relação entre as respostas às partes ( b ) e ( c ) .

Passo 1

Então pessoal, primeiro para encontrarmos o que é pedido no item ( a ) vamos usar a conservação de energia ao nosso favor.

Inicialmente temos a energia de dois prótons dadas pela equação ( 37.38 ) , assim:

E i = 2 γ M c 2

Agora a nossa energia final é a energia de repouso de cada próton mais a energia de repouso da partícula η 0 , assim:

E f = 2 M c 2 + m c 2

Então teremos o seguinte com a conservação de energia:

E i = E f

Com isso poderemos tirar a velocidade inicial pelo γ da energia inicial, já que:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Para encontrarmos a energia cinética dos prótons temos que usar a equação 37.36 dada por:

K = γ M c 2 - M c 2

A energia de repouso da partícula η 0 é dada pela seguinte equação:

E = m c 2

Agora, os itens b e ( c ) pedem para expressarmos as energias em M e V para fazermos isso vamos usar a seguinte relação:

1   J = 0,624 ⋅ 10 13   M e V

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade inicial então, temos o seguinte:

E i = E f

⇒ 2 γ M c 2 = 2 M c 2 + m c 2

Vamos isolar γ já que a velocidade vem dele, temos:

γ = 1 + m 2 M

Agora substituindo os valores das massas temos:

γ = 1 + ( 9,75 ⋅ 10 - 28 ) 2 ( 1,67 ⋅ 10 - 27 )

⇒ γ = 1,292

Agora que temos o valor de γ e sabemos a expressão que os fornece γ , então:

1,292 = 1 1 - v 2 / c 2

Isolando v , temos:

1 - v 2 c 2 = 1 1,292 2

⇒ v = c 1 - 1 1,292 2

Então temos que:

⇒ v = 0,633 c

Passo 3

Agora vamos encontrar a energia cinética de cada próton, temos então que:

K = γ M c 2 - M c 2

⇒ K = M c 2 ( γ - 1 )

No passo anterior achamos o valor de γ e substituindo o valor de M e c , temos;

K = ( 1,67 ⋅ 10 - 27 ) 3 ⋅ 10 8 2 ( 1,292 - 1 )

Então temos que:

K = 4,388 ⋅ 10 - 11   J

Passando para M e V , temos:

K = 2,74 ⋅ 10 2   M e V = 274   M e V

Passo 4

Agora só falta encontramos a energia de repouso de η 0 , assim:

E = m c 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

E = 9,75 ⋅ 10 - 28 3 ⋅ 10 8 2

Assim temos que:

E = 8,78 ⋅ 10 - 11

Passando para M e V , temos:

E = 5,48 ⋅ 10 2   M e V = 548   M e V

Passo 5

Agora se compararmos os resultados do item ( b ) e ( c ) , podemos ver que a energia de repouso do η 0 é a soma da energia cinética de cada próton, assim:

548   M e V = 274   M e V + 274   M e V

Isso indica que a energia cinética dos prótons foi usada para a produção da partícula η 0 .

Resposta

( a )

v = 0,633 c

( b )

274   M e V

c

548   M e V

( d )

A energia cinética dos prótons foi usada para a produção da partícula η 0

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