Enunciado

65 . Quando um carro esporte Alfa Romeo Spider 1984 acelera o máximo possível, durante os primeiros 20   s seu movimento é extremamente bem-modelado pela equação simples

v x 2 = 2 P m t

onde P   =   3,6 ⋅ 10 4   w a t t s é potência do carro,   m   =   1.200   k g é sua massa e v x está em m / s , ou seja, o quadrado da velocidade do carro aumenta linearmente com o tempo.

  a . Qual é o valor da velocidade do carro em t   =   10   s e em t   =   20   s ?

b . Obtenha uma expressão simbólica, em termos de P ,   m e t , para a aceleração do carro em um instante qualquer t .

c . Calcule a aceleração em t   =   1   s e t   =   10   s .

d . Este modelo simples deixa de ser válido para t menor do que, aproximadamente, 0,5   s . Explique como você reconheceria esta falha.

  e . Obtenha uma expressão simbólica para a distância percorrida pelo carro no instante qualquer t .

f . Um quarto de milha corresponde a 402   m . Qual é o melhor tempo do S p i d e r em uma corrida de quarto de milha? (O fato de o modelo não ser válido para o primeiro 0,5 s afetará muito pouco sua resposta porque o carro percorre uma distância desprezível durante este tempo.)

Passo 1

Vamos por partes.

( a )

v x 2 = 2 P m t

v x 2 = 2 ( 3,6 ⋅ 10 4   W ) 1200 k g t

v x = 60 t   [ m / s ]

Assim,

v x ( 10 s ) = 60 ( 10 )   ≅ 24 m / s   ≅ 50 m p h  

v x ( 20 s ) = 60 ( 20 )   ≅ 35 m / s   ≅ 75 m p h

Passo 2

( b ) Sabemos:

v x 2 = 2 P m t

v x = 2 P m t  

v x = 2 P m ⋅ t      

v x = 2 P m ⋅ t 1 / 2

A aceleração é a derivada da velocidade (essa é manjada), então:

a x = d v x d t

a x = d 2 P m ⋅ t 1 2 d t

a x = 2 P m ⋅ 1 2 ⋅ t 1 2 - 1  

a x = 2 P m ⋅ 1 2 ⋅ t - 1 2

a x = 2 P m ⋅ 1 2 t  

a x = 2 P m ⋅ 1 2 t  

a x = 2 P 2 m t

Já tá bom aí a resposta, mas vamos desenvolver mais um pouco... pois os professores amam isso:

a x = 2 P 2 m t

a x = 2 ⋅ P 2 m t

a x = 2 1 / 2 2 ⋅ P m t

a x = 2 - 1 / 2 ⋅ P m t

a x = 1 2   ⋅ P   m t

a x = P 2 m t  

Finalmente:

a x = P 2 m t

Passo 3

( c )

t   =   1   s .

a x = P 2 m t = 3,6 ⋅ 10 4 W 2 ( 1200 k g ) ( 1 s ) = 3,9 m / s 2

t   =   10   s .

a x = P 2 m t = 3,6 ⋅ 10 4 W 2 ( 1200 k g ) ( 10 s ) = 1,2 m / s 2

Passo 4

( d )

a x = 3,6 ⋅ 10 4 W 2 ( 1200 k g ) ( t )

Quanto menor é t , maior é a aceleração a x ,

a x   →   ∞   quando     t   →   0 , uma aceleração extremamente alta (tentando ao infinito) requer uma dose extremamente alta de potência também, algo que o Alfa Romeo Spider 1984 não tem.

Passo 5

A posição é a integral da velocidade (essa tb é manjada), então:

Como:

v x = 2 P m ⋅ t 1 / 2

E velocidade é a posição x ao longo de t :

v x = d x d t

d x = v x d t

Achamos a posição x , apartir de   0 :

∫ 0 x d x = ∫ 0 x v x d t

x = ∫ 0 x 2 P m ⋅ t 1 / 2 d t

( … )

x = 2 3 2 P m ⋅ t 3 / 2

Passo 6

( f )

Pela expressão anterior:

402 m = 2 3 2 ( 3,6 ⋅ 10 4 W ) 1200 k g ⋅ t 3 / 2

⇒ t = 18,2 s

Resposta

( a )

v x ( 10 s ) ≅ 24 m / s   ≅ 50 m p h  

v x ( 20 s ) ≅ 35 m / s   ≅ 75 m p h

( b )

a x = P 2 m t

( c )

a x ( 1 s ) = 3,9 m / s 2

a x ( 10 s ) = 1,2 m / s 2

( d )

a x = 3,6 ⋅ 10 4 W 2 ( 1200 k g ) ( t )

Quanto menor é t , maior é a aceleração a x , a x   →   ∞   quando     t   →   0 , uma aceleração extremamente alta (tentando ao infinito) requer uma dose extremamente alta de potência também, algo que o Alfa Romeo Spider 1984 não tem.

( e )

x = 2 3 2 P m ⋅ t 3 / 2

f

t = 18,2 s

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