Enunciado

65 . No circuito indicado na Figura P 30.65 , a chave S é fechada no instante t = 0 . ( a ) Determine a leitura de cada instrumento logo após a chave S ser fechada. ( b ) Qual é a leitura

após a chave S estar fechada há muito tempo?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa juntos!

Em um circuito envolvendo um indutor, imediatamente após a chave ser fechada o indutor funciona como uma barreira para corrente, então a corrente que passa no ramo que ele estiver é zero.

Em um indutor temos que:

ε L = L d i d t

Então depois de muito tempo d i / d t tende a zero, logo não temos tensão no indutor e é como se ele não estivesse ali.

A tensão no resistor é dada por:

ε R = i R

Nesse problema teremos que calcular resistência equivalente, já que estamos mexendo com mais de um resistor. Para o caro de resistores em série, temos:

R e q = R 1 + R 2 + …

Para resistores em paralelo, temos:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + …

Então essas informações vamos poder encontrar o que cada item quer!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer os valores das correntes quando t = 0 , como já vimos nesse instante o indutor funciona como uma barreira para corrente, logo A 2 = A 3 = 0 .

Com essa condição nós só temos a bateria, o resistor 40   Ω e o 15   Ω , logo a corrente medida em A 4 é igual a A 1 , para achar o valor dessas correntes podemos usar que:

ε R = i R

Como os dois resistores estão em série eles tem uma resistência equivalente dada por:

R e q = 40   Ω + 15   Ω

Com isso temos que:

i 1 = i 4 = ε R e q

⇒ i 1 = i 4 = ε 40 + 15

i 1 = i 4 = 25 40 + 15

Então temos que:

i 1 = i 4 = 0,45   A

Então A 1 = A 4 = 0,45   A .

Passo 3

Vamos para o item ( b ) .

Ele quer os valores das correntes quando t → ∞ , como já vimos nesse instante o indutor se comporta como se não estivesse ali, logo temos a seguinte relação entre as correntes:

i 1 = i 2 + i 3 + i 4

Então temos um circuito com 4 resistores, onde os resistores de 5   Ω , 10   Ω e 15   Ω estão ligados em paralelo e a resistência equivalente desses três esta ligada em série com o de 40   Ω .

Então vamos calcular a resistência equivalente total desse circuito e usar que:

ε = R i

Para achar a corrente total desse circuito que vai ser igual a i 1 que é medida por A 1 .

Primeiro vamos calcular a resistência equivalente dos resistores em paralelo, temos:

1 R = 1 5 + 1 10 + 1 15

⇒ 1 R = 0,367

Então temos que:

R = 2,72   Ω

Agora vamos calcular a resistência equivalente total dessa com a de 40   Ω , temos:

R e q = R + 40   Ω

⇒ R e q = 2,72   Ω + 40   Ω = 42,72   Ω

Então temos que a corrente total i 1 é dada por:

i 1 = 25 42,72 = 0,585   A

Então A 1 = 0,585   A .

Passo 4

Agora temos que achar a corrente nos outros, a forma de fazer isso é sabendo a tensão em cada resistor, pois:

i = V R

Em um circuito onde temos resistências ligadas em paralelo a tensão nelas é a mesma logo V 2 = V 3 = V 4 = V 234 e em um circuito com resistências em série a tensão de todas juntas é igual a soma da tensão de cada uma delas, então temos que:

ε = V 1 + V 234

Como já conhecemos ε , podemos calcular V 1 e com isso encontrar V 234 . Temos que V 1 é dado por:

V 1 = i 1 ( 40 Ω )

⇒ V 1 = ( 0,585 ) ( 40 )

⇒ V 1 = 23,4   V

Então temos que V 234 = 25   V - 23,4   V = 1,6   V . Então podemos calcular a corrente em cada resistor já que conhecemos a voltagem nele e o valor de R de cada um. Temos:

i 2 = 1,6 5 = 0,32   A

i 3 = 1,6 10 = 0,16   A

i 4 = 1,6 15 = 0,107

Então temos que A 2 = 0,32   A , A 3 = 0,16   A e A 4 = 0,107   A .

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

A 1 = A 4 = 0,45   A

A 2 = A 3 = 0

( b )

A 1 = 0,585   A

A 2 = 0,32   A

A 3 = 0,16   A

A 4 = 0,107   A

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