Enunciado

67- Bobinas de Helmhotz. A Figura 28.59 mostra a seção reta de duas bobinas circulares com raio a , cada uma delas com N espiras que conduzem uma corrente I no mesmo sentido. A distância entre as bobinas é igual ao raio a das bobinas. As bobinas dessa configuração denominam-se bobinas de Helmholtz e produzem um campo magnético bastante uniforme na região entre elas.

( a ) Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B em um ponto situado a uma distância x a direita do ponto P , que está no centro de simetria das bobinas.

( b ) Faça um gráfico de B contra x desde x = 0 até x = a / 2 . Compare o gráfico obtido com o campo magnético produzido apenas pela bobina da direita.

( c ) Usando a expressão obtida no item ( a ) , obtenha o módulo do campo magnético no ponto P

( d ) Calcule o valor do módulo do campo magnético no ponto P , considerando N = 300   e s p i r a s ,   I = 6.0   A   e   a = 8.0   c m

( e ) Calcule d B / d x e d 2 B / d x 2 no ponto P ( x = 0 ) . Discuta como seus resultados podem mostrar que o campo é bem uniforme nas vizinhanças do ponto P .

Passo 1

A expressão do campo magnético produzido por uma bobina circular em um ponto x fora do seu centro será:

B = N μ 0 I a 2 2 x 2 + a 2 3 2

Pois cada bobina tem n espiras agora.

Portanto para a bobina a esquerda o campo magnético em um ponto P + x será:

B e s q = N μ 0 I a 2 2 a 2 + x 2 + a 2 3 2

E para a bobina a direita há ponto x - P :

B d i r = N μ 0 I a 2 2 x - a 2 2 + a 2 3 2

Logo o campo magnético total em P é a soma das duas (pois no centro de seu eixo as duas sempre apontarão na mesma direção). Então:

B t o t a l = N μ 0 I a 2 2 1 a 2 + x 2 + a 2 3 2 + 1 x - a 2 2 + a 2 3 2

Passo 2

Considerando N μ 0 I 2 uma constante qualquer temos que o gráfico de B seja:

Onde o gráfico em vermelho é do campo total e o verde o da bobina a direita. O da bobina em direita nós consideramos x negativo pois a distância em x a direita de P está a esquerda da bobina a direita.

Passo 3

Para a letra c basta fazermos x = 0 , pois é a origem da nossa referência.

Então:

B = N μ 0 I a 2 2 1 a 2 + 0 2 + a 2 3 2 + 1 0 - a 2 2 + a 2 3 2

B = N μ 0 I a 2 1 5 a 2 4 3 2 = 4 5 3 2 N μ 0 I a  

Agora aplicando N = 300   e s p i r a s ,   I = 6.0   A   e   a = 8.0   c m , nós teremos um módulo de campo em P igual a:

B = 4 5 3 2 300 ⋅ 4 π × 10 - 7 ⋅ 6 8 × 10 - 2 = 0.02023   T

Passo 4

Derivando em x essa equação gigantesca:

B = N μ 0 I a 2 2 1 a 2 + x 2 + a 2 3 2 + 1 x - a 2 2 + a 2 3 2

d B d x = N μ 0 I a 2 2   - 3 x + a 2 a 2 + x 2 + a 2 5 2 + - 3 x - a 2 x - a 2 2 + a 2 5 2

Pela substituição u 1 = a 2 + x 2 + a 2 ; u 2 = - a 2 + x 2 + a 2 e aplicando regra da cadeia. Então para d B 0 d x nós teremos:

d B 0 d x = N μ 0 I a 2 2   - 3 + a 2 a 2 2 + a 2 5 2 + - 3 - a 2 - a 2 2 + a 2 5 2 = 0

O que zera.

Agora para d 2 B d x 2 teremos:

d 2 B d x 2 = N μ 0 I a 2 2   - 3 a 2 + x 2 + a 2 5 2 + - 3 x - a 2 2 + a 2 5 2 + 6 x + a 2 2 5 2 x + a 2 2 + a 2 7 2 + 6 x - a 2 2 5 2 x - a 2 2 + a 2 7 2

Essa já precisa de um capricho um pouco maior para conseguir ver. Mas se aplicarmos x = 0 nessa equação nós veremos que:

d 2 B d x 2 ( x = 0 ) = 0

O que no gráfico para o total de B pode ser entendido melhor como:

Logo as proximidades de x = 0 ou no ponto B o campo magnético se mantém bem uniforme, já que ele não cresce por d B d x e nem muda de concavidade, sendo parecido com uma reta constante de fato.

Resposta

a ) N μ 0 I a 2 2 1 a 2 + x 2 + a 2 3 2 + 1 x - a 2 2 + a 2 3 2  

b ) G r á f i c o   d o   P a s s o   2

c )   4 5 3 2 N μ 0 I a

d )   0.02023   T

e )   P a s s o   4

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