Enunciado

Um cilindro comprido, com seu eixo orientado ao longo do eixo O z , possui uma densidade de corrente J → . A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação

Em que a é o raio do cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e I 0 é uma constante dada em ampéres.

( a ) Mostre que I 0 é a corrente total que passa através da seção reta do fio

( b ) Usando a lei de Ampére, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≥ a .

( c ) Obtenha uma expressão para a corrente I contida em uma seção reta circular de raio r ≤ a e centralizada sobre o eixo do cilindro.

( d ) Aplicando a lei de Ampére, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≤ a . Como se comparam os resultados dos itens ( b ) e ( d ) para r = a ?

Passo 1

Vamos dividir a seção reta do fio cilíndrico em diversas seções circulares de espessura d r de forma que:

d I = J   d A

Onde J se mantém de acordo com uma fórmula pré-estabelecida e d A é o elemento de área dessa espessura de disco e que será d A = 2 π r   d r   (imagine um retângulo de comprimento 2 π r , onde os dois comprimentos dos círculos são bem parecidos, com uma altura d r , logo:

d I = J ⋅ 2 π r d r

Onde J é dada no enunciado

Então:

d I = 2 I 0 π a 2 1 - r a 2 ⋅ 2 π r   d r

d I = 4 I 0 a 2 r - r 3 a 2 d r

Integrando r de 0 até a nós teremos:

I = 4 I 0 a 2   r 2 2 - r 4 4 a 2 0 a = 4 I 0 a 2 a 2 2 - a 4 4 a 2 = 4 I 0 a 2 a 2 2 - a 2 4 = 4 I 0 a 2 a 2 4 = I 0

Então para o raio igual a a (que é o que abrange todo o círculo da seção reta do fio) nós teremos passando uma corrente I 0 .

Passo 2

Para uma região fora da seção reta do fio nós teremos:

E como nessa região somente temos uma corrente I 0 então pela lei de Ampere teremos:

B ⋅ 2 π r = μ 0 I 0

B = μ 0 I 0 2 π r

Passo 3

Agora para r ≤ a nós teremos a seguinte situação:

Nessa situação nós deveremos encontrar a corrente na seção de 0 até r em função de r ao fazer a integral:

d I ( r ) = 4 I 0 a 2 r - r 3 a 2 d r

Só que agora de 0 até r , o que nos dará:

I r = 4 I 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2

I r = 4 I 0 r 2 a 2 1 2 - r 2 4 a 2

I r = 2 I 0 r 2 a 2 1 - r 2 2 a 2

I r = I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2

Passo 4

Agora a equação do campo magnético para um r ≤ a , sabendo que nessa região passa uma corrente igual a I ( r ) :

B ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ I ( r )

B = μ 0 I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2 2 π r = μ 0 I 0 r 2 π a 2 2 - r 2 a 2  

Se aplicarmos r = a para esse campo interno nós teremos:

B = μ 0 I 0 a 2 π a 2 2 - a 2 a 2 = μ 0 I 0 2 π a 2 - 1 = μ 0 I 0 2 π a

Agora para o campo encontrado na letra b :

B ( r = a ) = μ 0 I 0 2 π a

Nos dando dois resultados iguais, tanto para B externo ao fio quanto ao interno.

Resposta

a )   P a s s o   1  

b )   B = μ 0 I 0 2 π r

c )   I r = I 0 r 2 a 2 2 - r 2 a 2

d )   B = μ 0 I 0 r 2 π a 2 2 - r 2 a 2 ; p a r a   r = a         →   B = μ 0 I 0 2 π a   t a n t o   n o   c a m p o   d a   l e t r a   b   q u a n t o   n a   l e t r a   d

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