Enunciado

69 . Seu fornecedor de energia elétrica possui um conjunto de capacitores com capacitância C 1 e outro conjunto de capacitores com capacitância C 2 . Você terá que determinar os valores de C 1 e de C 2 , porém sem poder medir individualmente o valor de C 1 nem o valor de C 2 . Contudo, você dispõe de um circuito contendo esses conjuntos de capacitores com capacitâncias C 1 e C 2 interligados em uma combinação em série e um outro circuito contendo esses conjuntos de capacitores com capacitâncias C 1 e C 2 interligados em uma combinação em paralelo. Você dispõe de uma bateria de 200,0   V e pode medir com instrumentos a energia total fornecida pela bateria quando ela está conectada aos circuitos. Quando a bateria está conectada em paralelo ao conjunto de capacitores interligados em paralelo, o circuito armazena uma energia igual a 0,180   J . Quando a bateria está conectada em série aos conjuntos de capacitores interligados em série, o circuito armazena uma energia igual a 0,0400   J . Você foi informado que C 1 é maior do que C 2 . ( a ) Calcule C 1 e C 2 . ( b ) No caso da combinação em série, C 1 acumula mais carga do que C 2 ou as cargas acumuladas nestes capacitores são iguais? Qual dos dois capacitores acumula mais energia, ou C 1 acumula a mesma energia que C 2 ? ( c ) Repita o item ( b ) para o caso da combinação em paralelo.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Temos um caso de circuito de capacitores, uma coisa que vai precisar para a gente resolver esse problema é saber calcular a capacitância equivalente de capacitores em série e em paralelo.

Para capacitores em série temos que:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + …

Para capacitores em paralelo, temos:

C e q = C 1 + C 2 + …

Outra coisa que vamos usar nesse problema é a equação que nos dá a energia armazenada em capacitor.

U = 1 2 C V 2

Ou

U = Q 2 2 C

Então vamos calcular a capacitância equivalente para cada tipo de ligação e usar na equação de energia já que o enunciado nos deu as energias para cada caso.

Vamos lá!

Passo 2

Para o circuito em série, temos:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2

Jogando isso na equação da energia que envolve o potencial, temos:

U = 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 V 2

Substituindo os valores que conhecemos:

0,04 = 1 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 ( 200 ) 2

⇒ C 1 C 2 C 1 + C 2 = 2 × 10 - 6

Passo 3

Para o circuito em paralelo, temos:

C e q = C 1 + C 2

Jogando isso na equação da energia que envolve o potencial, temos:

U = 1 2 ( C 1 + C 2 ) V 2

Substituindo os valores que conhecemos:

0 , 18 = 1 2 ( C 1 + C 2 ) ( 200 ) 2

⇒ C 1 + C 2 = 9 × 10 - 6

Passo 4

Nós conseguimos as seguintes equações:

C 1 C 2 C 1 + C 2 = 2 × 10 - 6

C 1 + C 2 = 9 × 10 - 6

Substituindo a segunda na primeira, temos:

C 1 C 2 9 × 10 - 6 = 2 × 10 - 6

⇒ C 1 C 2 = 18 × 10 - 12

⇒ C 1 = 1 C 2 18 × 10 - 12

Substituindo isso que encontramos na segunda equação, temos:

1 C 2 18 × 10 - 12 + C 2 = 9 × 10 - 6

C 2 = 3 × 10 - 6   F

Logo temos que:

C 1 = 6 × 10 - 6   F

Passo 5

Agora vamos para o item ( b ) .

Quando temos os capacitores estão em série eles tem a mesma carga Q , logo acumulam a mesma carga

Já para saber da energia vamos usar a seguinte equação da energia:

U = Q 2 2 C

Logo quem tiver menor capacitância acumula mais energia. Como C 2 < C 1 , C 2 acumula mais energia.

Passo 6

E por último o item ( d ) .

Na combinação paralela os capacitores têm o mesmo potencial.

Usando a seguinte equação:

Q = C V

Então quem tiver maior capacitância tem maior carga, como C 2 < C 1 , C 1 acumula mais carga.

Já para saber da energia vamos usar a seguinte equação da energia:

U = 1 2 C V 2

Logo quem tiver maior capacitância acumula mais energia. Como C 2 < C 1 , C 1 acumula mais energia.

Resposta

( a )

C 2 = 3 × 10 - 6   F

C 1 = 6 × 10 - 6   F

( b )

Demonstrado acima.

( c )

Demonstrado acima.

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