Enunciado

59. Largura angular de um máximo principal. Considere N fendas estreitas igualmente espaçadas. Use a aproximação para ângulos pequenos sen ⁡ θ = θ (para θ em radianos) e mostre que, para um certo máximo que ocorre em um ângulo θ , um mínimo imediatamente

adjacente a esse máximo está localizado nos ângulos θ + λ / N d e θ - λ / N d , de modo que a largura angular do máximo principal é dada por 2 λ / N d . Isso é proporcional a 1 / N , conforme havíamos concluído no final da Seção 36.4 fazendo um raciocínio de conservação de energia.

Passo 1

Então pessoal, para demonstrar o que o problema quer, teremos vamos ter que usar a diferença de fase entre fendas adjacentes, dada por:

ϕ = 2 π d λ sen ⁡ θ

Mas usando a aproximação sugerida no enunciado, temos:

ϕ = 2 π d λ θ

Isolando θ , temos:

θ = λ 2 π d ϕ

Vamos lembrar que um máximo ocorre quando ϕ = ϕ m á x = m 2 π para m inteiro. E temos que os mínimos adjacentes para um máximo de ordem m ocorrem da seguinte maneira ϕ = ϕ m í n = m 2 π ± ( 2 π / N )

Teremos que aposição angular de um máximo principal é dado por:

θ = λ 2 π d ϕ m á x

A posição angular do mínimo adjacente é dada por:

θ m í n = λ 2 π d ϕ m í n

Mas o que vai nos interessar mesmo essa última expressão, onde teremos um θ m í n para um lado do máximo e um θ m í n para o outro lado.

Passo 2

Do passo um temos o seguinte:

θ m í n = λ 2 π d ϕ m í n

E temos que:

ϕ m í n = m 2 π ± 2 π N

Ou melhor:

ϕ m í n = ϕ m á x ± 2 π N

Juntando as duas expressões, temos:

θ m í n = λ 2 π d ϕ m á x ± 2 π N

Disso ficamos com dois caminhos, o primeiro é:

θ m í n = λ 2 π d ϕ m á x + 2 π N

= λ 2 π d ϕ m á x + λ d N

⇒ θ m í n = θ + λ d N

O segundo é:

θ m í n = λ 2 π d ϕ m á x - ( 2 π / N )

= λ 2 π d ϕ m á x - λ d N

⇒ θ m í n = θ - λ d N

O sinal de cada expressão é para indicar de qual lado é o mínimo adjacente.

Resposta

θ m í n = θ + λ d N

θ m í n = θ - λ d N

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