Enunciado

72. No circuito indicado na Figura 30.30 , nem a bateria nem os indutores possuem resistência interna significativa, os capacitores não possuem carga inicial e a chave S está na posição 1 há um longo tempo. Revise os resultados do Problema 30.47 . ( a ) Qual é a corrente no circuito? ( b ) A chave é agora subitamente passada para a posição 2 . Determine a carga máxima que cada capacitor receberá e quanto tempo após a mudança de posição da chave eles levarão para adquirir essa carga.

Passo 1

Bem, inicialmente quando a chave está na posição 1 , temos que os capacitores estão sem carga logo eles se comportam como se fossem um fio, logo não contribuem para o circuito.

Os indutores não tensão alguma já que a chave está nessa posição a muito tempo logo não temos variação de corrente, então eles também se comportam como um fio.

Assim a podemos achar a corrente no circuito usando a lei de Ohm considerando apenas o resistor, assim temos:

ε = i R

⇒ i = ε R

Para a situação quando a chave é mudada para a posição 2 temos um circuito L - C , onde temos a seguinte relação para a energia total, já que ela se conserva.

1 2 L t o t i m á x 2 = Q 2 2 C t o t

Onde Q é a carga máxima do capacitor e i m á x é a corrente que vamos descobrir para o item ( a ) já que depois que a chave muda de posição a bateria que fornecia corrente no circuito foi separada logo a corrente máxima é essa e ela vai diminuindo com o tempo.

Bem, para achar quanto tempo levou para os capacitores atingirem a carga máxima temos que ver como essa carga se comporta no tempo, a equação 30.21 nos fornece isso, temos:

q = Q cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Vamos considerar ϕ = 0 para facilitar nossa vida, então queremos que:

cos ⁡ ( ω t ) = 1

⇒ t = π 2 1 ω

Onde ω para um circuito L - C é dada por:

ω = 1 L t o t C t o t

Passo 2

Vamos achar a corrente pedida no item ( a ) , temos que:

i = ε R

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

i = 75 125

⇒ i = 0,6   A

Passo 3

Agora vamos encontrar a carga máxima pedida em ( b ) , temos que:

1 2 L t o t i m á x 2 = Q 2 2 C t o t

Mas antes de achar essa carga, temos que encontrar L t o t e C t o t e vamos fazer isso através das conclusões do problema 30.47 , assim temos que:

L t o t = 15 + 5 = 20   m H = 20 ⋅ 10 - 3   H

C t o t = 1 25 + 1 35 - 1 = 14,6   μ F = 14,6 ⋅ 10 - 6   F

Agora isolando Q na equação do início, temos:

Q = i m á x L t o t C t o t

Substituindo o que sabemos, temos:

Q = 0,6 ( 20 ⋅ 10 - 3 ) ( 14,6 ⋅ 10 - 6 )

= 0,6 292 ⋅ 10 - 9

Então temos que:

Q = 3,24 ⋅ 10 - 4   C

Passo 4

Agora vamos encontrar quanto tempo levou até os capacitores atingirem essa carga, temos que:

t = π 2 1 ω

Substituindo ω pela expressão mostrada no passo 1 , temos:

t = π 2 L t o t C t o t

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

t = π 2 ( 20 ⋅ 10 - 3 ) ( 14,6 ⋅ 10 - 6 )

= π 2 292 ⋅ 10 - 9

Então temos que:

t = 0,85 ⋅ 10 - 3   s

Resposta

( a )

i = 0,6   A

( b )

Q = 3,24 ⋅ 10 - 4   C

t = 0,85 ⋅ 10 - 3   s

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