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7.3P Determine a posição do centro de massa do hemisfério homogêneo de raio R , visto na Figura 7.13.

Passo 1

Show de belezeras galerinha, nosso hemisfério homogêneo é dado na figura como a parte inferior de uma esfera:

Iradoso, e pra começar, podemos ver que o eixo y divide o hemisfério exatamente no meio, isso quer dizer que como estamos tratando de um hemisfério homogêneo, o centro de massa vai estar nesta mesma linha do eixo y , ou seja, já podemos garantir que no eixo x , o centro de massa estará no ponto x = 0 :

X C M = 0

Passo 2

Xuxu beleza, mas agora que vem a parte legal, porque precisamos encontrar em que ponto do eixo y a coordenada Y C M do centro de massa se encontre. E se tratando de um sólido homogêneo, temos que a equação que descreve a posição Y C M do centro de massa é:

Y C M = 1 M ∫ y   d M

Onde M é a massa total do sólido. Mas calma lá meu patrão, porque nesse caso precisamos fazer uma alteração das variavies, precisamos sair da varialvel d M e ir para outra mais conhecida. E pra isso podemos lembrar que a massa e o volume de um sólido homogêneo se relacionam através da densidade ρ de cada sólido:

ρ = M V

Tal que nossa massa é:

M = ρ V

Então se a gente for pro infinitesimal, teremos que um infitésimo de massa d M será o equivalente a um infitésimo de volume d V :

d M = ρ d V

E substituindo isso na nossa integral, temos:

Y C M = 1 ρ V ∫ y   ρ d V

E se a gente cortar o ρ , teremos que:

Y C M = 1 V ∫ y   d V

Passo 3

Feshow de bola, agora colocamos nosssa integral em função de uma variavel que a gente conhece melhor. O volume de um hemisfério, vai ser exatamente a metade do volume de uma esfera, e dado que nossa hemisfério possui uma raio R , temos:

V = 1 2 4 3 π R 3

V = 2 3 π R 3

Mass agora para o termo infinitesimal d V , vamos ter que usar da malandragem. Saca só, queremos definir o termo infinitesimal de volume d V , mas como estamos trabalhando com a variavel y , seria sensacional se pudessemos relacionar esse termo d V com nossa variavel y . Então o que a gente pode fazer é imaginar que a gente dividiu nossa hemisfério em vários discos de raio r :

Cada disco desse vai possuir uma área A r dada por:

A r = π r 2

Maaaasss, se a gente disser que esse disco possui uma altura infinitesimal d y :

Poderemos então, dizer que ele vai possuir um volume infinitesimal d V tal que:

d V = A r × d y

d V = π r 2 d y

Belejóia, então de forma bem sagz conseguimos sair do infitesimal d V e ir para d y , o que é beeeemmm melhor pra gente. Nossa integral agora é:

Y C M = 1 2 3 π R 3 ∫ y π r 2   d y

Y C M = 3 2 R 3 ∫ y r 2   d y

Passo 4

Bora que ta acabando galerinha. Ta vendo quele termo r 2 na nossa integral, então, não conhecemos ele, não sabemos nada dele, onde ele vive, o que ele come o que ele faz nas horas vagas. Então se a gente não sabe nada dele, vamos colocar ele em função de alguma variavel que a gente conhece. Saca só, se a gente montar um trinagulo com esse raio r e o raio R teremos:

Sendo assim, o raio r será:

r 2 = R 2 - R 2 - y 2

r 2 = R 2 - R 2 - 2 R y + y 2

Logo:

r 2 = 2 R y - y 2

Dessa forma nossa integral pode ser reescrita como:

Y C M = 3 2 R 3 ∫ y 2 R y - y 2   d y

Y C M = 3 2 R 3 ∫ 2 R y 2 - y 3   d y

E como nosso hemisfério vai de y = 0   até y = R , temos que nossa posição Y C M do centro de massa será dada por:

Y C M = 3 2 R 3 ∫ 0 R 2 R y 2 - y 3   d y

E finalmente resolvendo essa integral, descobrimos que:

Y C M = 3 2 R 3 2 3 R y 3 - 1 4 y 4 0 R

Y C M = 3 2 R 3 2 3 R 4 - 1 4 R 4 - 0

Y C M = 3 2 R 3 5 R 4 12

Portano:

Y C M = 5 R 8

Resposta

X C M = 0 ,     Y C M = 5 R 8

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