Enunciado

6.19P Uma pequena pastilha partindo do repouso do topo de uma esfera desliza sem atrito sobre a mesma (Figura 6.16). A) Identifique as forças que atuam sobre a pastilha enquanto ela mantém contato com a esfera. B) Determine a variação da velocidade da partícula com o ângulo θ , antes de a partícula perder contato com a esfera. C) Calcule o valor θ m á x no qual a pastilha perde contato com a esfera. Sugestão: determine o ponto em que a trajetória da partícula ainda é circular mas a força entre a pastilha e a esfera é nula.

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, a figura 6.16 é a seguinte:

Na letra (A) ele quer a gente escreva as forças que estão atuando sobre nosso bloco de massa m através de um diagrama de forças. MAAAASSS o enunciado nos deu a brilhante sugestão de levar em conta que durante o contato com a esfera a nossa trajetória é circular.

Perai chefe, porque se nossa trajetória é circular, quer dizer que além das forças peso e normal, existe uma força centrípeta F → c p atuando sobre o nosso bloco, tal que o diagrama de forças é:

Onde P → e N → são as forças peso e normal respectivamente. E a força centrípeta sempre vai apontar para o centro da trajetória.

Passo 2

Iradoso, agora na letra (B) queremos encontrar a variação de velocidade com o ângulo de θ até o bloco perder contato com a esfera. MAAASSS o bizu master de todos os tempos aqui, é que o bloco vai perder o contato com a esfera quando a força normal estiver na iminência de se igualar a força centrípeta.

F → c p = N →

Porque nesse momento, as forças que atuam nesse eixo irão se anular e, portanto, não haverá nenhuma força mantendo a bloco sobre a esfera, a resultante nesse eixo será nula. Dito isso, a força centrípeta sobre um corpo qualquer é dada como:

F → c p = m v 2 R

Onde m é a massa do bloco, v é a velocidade em que ele se encontra, e R é o raio da trajetória circular. Além disso a força normal é uma reação a força peso, nesse caso deve ser perpendicular a trajetória tal que:

N → = P → cos ⁡ θ

N → = m g cos ⁡ θ

Sendo assim, nossa igualdade de forças se torna:

m v 2 R = m g cos ⁡ θ

v 2 = R g cos ⁡ θ

Portanto a velocidade final no ponto onde o bloco perde o contato com a esfera é:

v = R g cos ⁡ θ

E já que o bloco parte do repouso, temos que a velocidade inicial v 0 = 0 logo a variação da velocidade nesse intervalo de tempo será:

∆ v = v - v 0

∆ v = R g cos ⁡ θ - 0

∆ v = R g cos ⁡ θ

Passo 3

Belezera, agora que vem a melhor parte da brincadeira. O enunciado quer que a gente encontre o ângulo θ onde o bloco perde contato com a esfera

Calma lá, vamos com carinho. A malandragem aqui, é que podemos usar a conservação da energia mecânica, isto é, a energia mecânica inicial do nosso sistema vai ser exatamente igual a energia mecânica final do nosso mesmo sistema:

E i = E f

A energia mecânica inicial possui somente energia potencial gravitacional que o bloco possui no topo da esfera, dada pela altura R do raio:

E i = U i

E i = m g R

Já a energia mecânica final, vai ser uma mistura de energia cinética (devido a velocidade adquirida durante a queda) e de energia potencial gravitacional (já que o bloco ainda possui uma altura no momento da separação), dessa forma:

E f = K + U f

A energia cinética é dada pela fórmula K = 1 2 m v 2 , enquanto a altura final da energia gravitacional será h f = R cos ⁡ θ , tal que:

E f = 1 2 m v 2 + m g R cos ⁡ θ

E como na letra (B) descobrimos a velocidade final nesse ponto, v = R g cos ⁡ θ , obtemos que:

E f = 1 2 m R g cos ⁡ θ 2 + m g R cos ⁡ θ

E f = 1 2 m R g cos ⁡ θ + m g R cos ⁡ θ

E f = 3 2 m R g cos ⁡ θ

E então se a gente igualar essas energias final e inicial que encontramos, descobrimos que:

E i = E f

m g R = 3 2 m R g cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 2 3

Portanto, se tirarmos o valor numa calculadora, teremos que o ângulo que corresponde ao momento em que o bloco perde contato com a esfera é:

θ = arccos ⁡ 2 3

θ ≈ 48,2 °

Resposta

  1. ∆ v = R g cos ⁡ θ
  2. θ = arccos ⁡ 2 3 ,     θ ≈ 48,2 °
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