Enunciado

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6.21P* Refaça o Problema 6.16 supondo que o elástico tenha uma massa m .

Passo 1

Belezoca de motoca, no exercício anterior nossa figura era:

Só que como agora temos que o elástico também tem uma massa m , vamos representar nessa figura o centro de massa do elástico, onde a massa está concentrada:

Quando a esfera de massa M é liberada, a esfera vai entrar em queda até atingir uma distância x :

Só que quando isso acontece, o centro de massa do elástico também se move (já que o elástico se estica), e como ele divide o elástico em dois, e o elástico inteiro percorre um distância x em um sentido, o centro de massa vai percorrer metade dessa distância no mesmo sentido, tal que nesse ponto teremos:

Passo 2

Xuxu no mel, isso quer dizer que se a gente aplicar a conservação da energia aqui, vamos ter que levar em conta que no momento inicial, tanto a esfera, quanto o elástico vão possuir energia potencial gravitacional:

E i = U e s f e r a + U e l á s t i c o

Como a esfera cai por uma distância h = x , temos que:

U e s f e r a = M g x

Já o centro de massa do elástico está caindo por uma distância h = x 2 , tal que sua energia potencial gravitacional é:

U e l á s t i c o = m g x 2

Dessa forma a energia mecânica inicial total é:

E i = M g x + m g x 2

Já a energia mecânica final, dada no ponto mais baixo do movimento, vai ser constituída apenas de energia potencial elástica devido a sua deformação de x metros:

E f = 1 2 k x 2

Então igualando as energias inicial e final, de acordo com a conservação da energia, temos:

E i = E f

M g x + m g x 2 = 1 2 k x 2

Isolando x , temos:

x M g + m g 2 = 1 2 k x 2

Logo:

1 2 k x = M g + m g 2

x = 2 M g k + m g k

Portanto, o ponto de inversão do movimento é dado por L f = L + x :

L f = L + 2 M g k + m g k

Resposta

L f = L + 2 M g k + m g k

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