Enunciado

7.4P A figura 7.14 mostra um reservatório cilíndrico cujas paredes têm espessura e densidade uniformes. O reservatório em massa m r e contém uma massa m a de água. Determine a posição do centro de massa do sistema, supondo que a espessura das paredes do reservatório seja muito menor do que as outras dimensões do sistema.

Passo 1

Belezoca galerinha, nossa figura 7.14 representa o reservatório como:

E a fórmula pro cálculo do centro de massa é dada por:

h c m = 1 M ∑ i = 1 n m i r i  

Onde:

M = ∑ i = 1 n m i

Belezoca, e temos apenas a massa m r do reservatório e massa m a da água contida dentro dele, tal que:

M = m r + m a

Então com toda sagacidade do mundo, nossa equação se torna:

h c m = 1 M ∑ i = 1 n m i r i = m r h r + m a h a m r + m a

Onde h r e h a são as posições do centro de massa do reservatório (vazio) e da coluna de água. Então só precisamos encontrar esses valores pra executar nosso plano infalível.

Passo 2

Saca só, se hipoteticamente nosso reservatório estivesse vazio, seu centro de massa seria calculado apenas pelas laterais e pela base do cilindro que forma o reservatório. A área da base desse cilindro será dada por:

A b = π r 2

Onde r é o raio da base, mas como no nosso desenho podemos ver que o diâmetro do cilindo é igual a D , então teremos que:

r = D 2

Logo:

A b = π D 2 4

Belezoca, agora a área da lateral do cilindro pode ser calculada como se fosse a área de um retângulo, onde a lateral do retângulo é a altura H , enquanto a base do retângulo é a circunferência da base do cilindro tal que:

A L = a l t u r a   r e t â n g u l o × b a s e   r e t â n g u l o

A L = H × 2 π D 2

Logo a área da lateral é:

A L = π D H

E como o reservatório é homogêneo e sua espessura pode ser desprezada, podemos dizer que ele possui uma densidade uniforme ρ r tal que a massa da base e a massa da lateral é:

m b = ρ r π D 2 4 ,     m L = ρ r π D H

Portanto a massa total desse sistema é:

m T = m b + m L

m T = ρ r π D 2 4 + D H

Passo 3

Feshow de bola, então o centro de massa do reservatório vazio vai ser dado por:

h r = m b 0 + m L H 2 m b + m L

Logo:

h r = 0 + ρ r π D H H 2 ρ r π D 2 4 + D H

h r = D H 2 2 D 2 + 4 D H 4

h r = 2 D H 2 D 2 + 4 D H

Portanto o centro de massa do reservatório vazio é dadoi por:

h r = 2 H 2 D + 4 H

Passo 4

Iradoso, então quer dizer que nosso centro de massa do reservatório cheio pode ser medido como:

h c m = m r h r + m a h a m r + m a

Onde h a é a altura média da coluna de água, onde se encontra se centro de massa h a = h 2 , logo nossa equação se torna:

h c m = m r 2 H 2 D + 4 H + m a h 2 m r + m a

Resposta

h c m = m r 2 H 2 D + 4 H + m a h 2 m r + m a

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