Enunciado

75. Uma demonstração do efeito da indutância. Uma demonstração comum para o efeito da indutância utiliza um circuito semelhante ao indicado na Figura 30.27 . A chave S é fechada, e a lâmpada incandescente (representada pela resistência R 1 ) possui um brilho muito fraco. Depois de certo tempo, a chave S é aberta e a lâmpada brilha fortemente durante um breve intervalo de tempo. Para entender esse efeito, imagine um indutor como um dispositivo capaz de usar um efeito de inércia para ‘segurar’ a corrente, impedindo que ocorra uma variação descontínua de corrente através dele. ( a ) Deduza funções explicitas do tempo para i 1 (a corrente que passa através da lâmpada) e para i 2 (a corrente que passa através do indutor) logo depois que a chave S é fechada. ( b ) Após um tempo muito longo, as correntes i 1 e i 2 atingem seus valores estacionários finais. Obtenha expressões para esses valores estacionários. ( c ) A seguir, a chave S é aberta. Deduza funções explícitas do tempo para a corrente que passa através da lâmpada e para a corrente que passa través do indutor. ( d ) Você foi contratado para projetar um dispositivo experimental para fazer essa demonstração usando um circuito indicado na Figura 30.27 , com um indutor de 22,0   H e uma lâmpada de 40,0   W . Você deve conectar um resistor em série ao indutor, e R 2 representa a soma da referida resistência com a resistência interna do indutor. Quando a chave S é aberta, surge uma corrente transiente que começa com 0,600   A e diminui até 0,150   A depois de 0,0800   s . Para simplificar, suponha que a resistência da lâmpada seja constante e igual ao valor da resistência da lâmpada quando dissipa 40,0   W para 120   V . Determine R 2 e ε para as considerações do projeto. ( e ) Com os valores numéricos calculados no item ( d ) , qual é a corrente que passa na lâmpada logo após a abertura da chave? O resultado obtido confirma a descrição qualitativa do efeito que deve ser observado na demonstração?

Passo 1

Para esse problema vamos resolver cada item e explicar o que precisamos fazer para resolvê-lo em cada passo, já que essa questão é muito grande e pode dar trabalho.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Quando a chave S é fechada a corrente que vem da fem toma dois caminhos diferentes, um caminho é pelo resistor R 1 ( i 1 ) e outro pelo indutor ( i 2 ) .

Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.

Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor e em um indutor é dada respectivamente por:

V R = i R                     V L = L d i d t

Vamos analisar o primeiro caminho, feito por i 1 , temos:

ε - i 1 R 1 = 0

⇒ i 1 = ε R 1

Com isso vemos que i 1 não depende do tempo.

Vamos para o segundo caminho, feito por i 2 , temos:

ε - i 2 R 2 - L d i 2 d t = 0

⇒ d i 2 d t = ε L - i 2 R 2 L

Isolando - R 2 / L , temos:

d i 2 d t = - R 2 L i 2 - ε R 2

Jogando tudo que tem i 2 para um lado e tudo que tem t para o outro, temos:

d i 2 i 2 - ε R 2 = - R 2 L d t

Integrando os dois lados, ficamos com:

∫ d i 2 i 2 - ε R 2 = ∫ - R 2 L d t

⇒ ln ⁡ i 2 - ε / R 2 - ε / R 2 = - R 2 L t

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

i 2 - ε / R 2 - ε / R 2 = e - ( R 2 / L ) t

⇒ i 2 - ε R 2 = - ε R 2 e - ( R 2 / L ) t

⇒ i 2 = ε R 2 ( 1 - e - ( R 2 / L ) t )

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item ( a ) .

Passo 3

Agora partiu resolver o item ( b ) .

Esse tempo muito longo mencionado no enunciado, pode ser interpretado como t → ∞ .

O que temos que fazer é ver como as fórmulas que encontramos no item ( a ) se comportam quando t vai para o infinito.

A fórmula i 1 dada por:

i 1 = ε R 1

Como pode ser vista não depende do tempo, então ela permanece com esse mesmo valor a todo instante.

Agora para i 2 temos a seguinte fórmula:

i 2 = ε R 2 ( 1 - e - ( R 2 / L ) t )

Como pode ser visto i 2 depende do tempo, então vamos fazer t → ∞ .

O argumento da exponencial quando t vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

e - ( R 2 / L ) t = 1 e ( R 2 / L ) t

Quando t → ∞ temos que e ( R 2 / L ) t → ∞ , logo:

1 e ( R 2 / L ) t → 0

Então i 2 fica da seguinte forma:

i 2 = ε R 2

Passo 4

Agora partiu item ( c ) .

Quando a chave S é aberta meio que o circuito perde contato com a fem ( ε ) então podemos considerar nosso circuito apenas formado pelas resistências e pelo indutor, então só teremos uma corrente nesse circuito.

Novamente vamos aplicar a lei das malhas nesse circuito da mesma forma que fizemos anteriormente, mas dessa vez vamos tirar ε , assim ficamos com:

- i R 1 - i R 2 - L d i d t = 0

⇒ - i ( R 1 + R 2 ) - L d i d t = 0

⇒ L d i d t = - i ( R 1 + R 2 )

Jogando tudo que tem i para um lado e tudo que tem t para o outro, temos:

d i i = - R 1 + R 2 L d t

Agora vamos integrar o lado da corrente de i 0 ( i 0 = ε / R 2 ) até i e o lado do tempo de 0 até t , ficamos com:

∫ i 0 i d i ' i ' = ∫ 0 t - R 1 + R 2 L d t '

⇒ ln ⁡ i ' i 0 i = - R 1 + R 2 L t

⇒ ln ⁡ i i 0 = - R 1 + R 2 L t

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

i i 0 = e - ( R 1 + R 2 ) t / L

⇒ i = i 0 e - ( R 1 + R 2 ) t / L

⇒ i = ε R 2 e - ( R 1 + R 2 ) t / L

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item ( c ) .

Passo 5

Vamos em direção a resolução do item ( d ) .

Primeiro vamos nos localizar nas informações que são fornecidas.

Ele nos fornece o valor da indutância L = 22,0   H , temos que a resistência da lâmpada é como se fosse nosso R 1 e podemos encontrar seu valor através da seguinte fórmula para potência:

P = V 2 R

Como o enunciado nos dá o valor da potência e da voltagem ( P = 40,0   W ,   V = 120   V ) , basta isolar R e achar seu valor.

O enunciado também diz que temos uma corrente transiente de 0,600   A , essa corrente nada mais é que o nosso i 0 que usamos no item ( c ) que é a corrente inicial que sobra depois que a chave é aberta e sabemos que:

i 0 = ε R 2

Bem, já temos uma relação com as duas coisas que queremos, mas precisamos de mais alguma coisa para encontrar esses valores. Utilizando o resultado item ( c )

i = i 0 e - ( R 1 + R 2 ) t / L

Podemos encontrar R 2 através dessa fórmula, já que o enunciado nos dá o valor da corrente ( 0,150   A ) para um certo valor de t ( 0,080   s ) , como conhecemos L e podemos calcular R 1 conseguimos o valor de R 2 , depois basta usar na fórmula do i 0 e encontrar ε .

Agora vamos para o passo seguinte para fazer as contas, se não esse fica muito grande.

Passo 6

Vamos começar achando o valor de R 1 , temos:

P = V 2 R 1

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

40 = ( 120 ) 2 R 1

⇒ R 1 = 120 2 40

Então temos que:

R 1 = 360   Ω

Agora vamos usar a fórmula para a corrente, temos:

i = i 0 e - ( R 1 + R 2 ) t / L

Substituindo os valores conhecidos, ficamos com:

0,15 = 0,6 e - 360 + R 2 0,08 / 22

0,25 = e - 360 + R 2 0,08 / 22

Aplicando l n   nos dois lados, ficamos com:

ln ⁡ 25 = - 360 + R 2 0,08 22

⇒ 22 ln ⁡ 25 0,08 = - 360 - R 2

⇒ - 381,23 = - 360 - R 2

Isolando R 2 , ficamos com:

R 2 = 381,23 - 360

⇒ R 2 = 21,23   Ω

Tendo esse valor agora é só a gente usar aquela fórmula para i 0 , temos:

i 0 = ε R 2

⇒ ε = i 0 R 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

ε = 0,6 ( 21,23 )

⇒ ε = 12,74   V

Passo 7

Agora por último vamos achar o que é pedido no item ( e ) .

Bem, logo depois que a chave é aberta o próprio item ( d ) fala que a corrente transiente é 0,600   A , então essa é a corrente que passa pela lâmpada.

Mas porque ocorre o brilho mais intenso?

Para responder isso temos que saber a corrente que passa antes da abertura da chave, e para isso podemos usar a seguinte fórmula que encontramos no passo 1 .

i 1 = ε R 1

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

i 1 = 12,74 360

⇒ i 1 = 0,0354   A

Como podemos ver corrente passa de i 1 = 0,0354   A para i 2 = 0,600   A , rapidamente, por isso temos esse brilho na lâmpada.

Resposta

( a )

i 1 = ε R 1

i 2 = ε R 2 ( 1 - e - ( R 2 / L ) t )

( b )

i 1 = ε R 1

i 2 = ε R 2

( c )

i = ε R 2 e - ( R 1 + R 2 ) t / L

( d )

R 2 = 21,23   Ω

ε = 12,74   V

( e )

i = 0,6   A

O resultado obtido bate com o efeito, já que a corrente passa de i 1 = 0,0354   A para i 2 = 0,600   A , rapidamente, por isso temos esse brilho na lâmpada.

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