Enunciado

79. Considere o circuito indicado na Figura 30.35 . A chave S é fechada para t = 0 , produzindo uma corrente i 1 que passa através do ramo do indutor e uma corrente i 2 que passa através do ramo do capacitor. A carga inicial do capacitor é igual a zero e a carga no instante t é igual a q 2 . ( a ) Deduza expressões para i 1 ,   i 2 e q 2 em função do tempo. Expresse as respostas em termos de ε ,   L ,   C ,   R 1 ,   R 2 e t . Para o restante deste problema, use os seguintes valores para os elementos do circuito: ε = 48   V ,   L = 8,0   H ,   C = 20   μ F ,   R 1 = 25   Ω e R 2 = 5000   Ω . ( b ) Qual é a corrente inicial que passa através do ramo do indutor? Qual é a corrente inicial que passa por meio do ramo do capacitor? ( c ) Quais são as correntes que passam através do ramo do indutor e do ramo do capacitor um longo tempo depois de a chave ser fechada? Qual é a duração desse ‘longo tempo’? Explique. ( d ) Para qual tempo t 1 (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente i 1 torna-se igual a i 2 ? (Sugestão: você deve considerar o desenvolvimento em série da função exponencial.) ( e ) Calcule i 1 para as condições especificadas em no item ( d ) . ( f ) A corrente total através da bateria é i = i 1 + i 2 . Para qual tempo t 2 (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente i torna-se igual à metade de seu valor final? (Sugestão: o cálculo numérico pode ser simplificado se você fizer aproximações adequadas. Um desenho de i 1 e de i 2 em função de t pode ajudar a decidir qual é a aproximação válida.)

Passo 1

Para esse problema vamos resolver cada item e explicar o que precisamos fazer para resolvê-lo em cada passo, já que essa questão é muito grande e pode dar trabalho.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Quando a chave S é fechada a corrente que vem da fem toma dois caminhos diferentes, um caminho é pelo indutor L ( i 1 ) e outro pelo capacitor C ( i 2 ) .

Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.

Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor, em um indutor e um capacitor é dada respectivamente por:

V R = i R                     V L = L d i d t                   V C = q C

Vamos analisar o primeiro caminho, feito por i 1 , temos:

ε - i 1 R 1 - L d i d t = 0

⇒ d i 1 d t = ε L - i 1 R 1 L

Isolando - R 1 / L , temos:

d i 1 d t = - R 1 L i 1 - ε R 1

Jogando tudo que tem i 1 para um lado e tudo que tem t para o outro, temos:

d i 1 i 1 - ε R 1 = - R 1 L d t

Integrando os dois lados, ficamos com:

∫ d i 1 i 1 - ε R 1 = ∫ - R 1 L d t

⇒ ln ⁡ i 1 - ε / R 1 - ε / R 1 = - R 1 L t

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

i 1 - ε / R 1 - ε / R 1 = e - ( R 1 / L ) t

⇒ i 1 - ε R 1 = - ε R 1 e - ( R 1 / L ) t

⇒ i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

Vamos para o segundo caminho, feito por i 2 , temos:

ε - i 2 R 2 - q 2 C = 0

Mas corrente pode ser definida como variação de carga por tempo, ou melhor i = d q / d t , então podemos escrever nossa expressão da seguinte forma:

ε - d q 2 d t R 2 - q 2 C = 0

⇒ d q 2 d t = ε R 2 - q 2 R 2 C

Isolando - 1 / R 2 C , temos:

d q 2 d t = - 1 R 2 C q 2 - C ε

Jogando tudo que tem q 2 para um lado e tudo que tem t para o outro, temos:

d q 2 q 2 - C ε = - 1 R 2 C d t

Integrando os dois lados, ficamos com:

∫ d q 2 q 2 - C ε = ∫ - 1 R 2 C d t

⇒ ln ⁡ q 2 - C ε - C ε = - 1 R 2 C t

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

q 2 - C ε - C ε = e - ( 1 / R 2 C ) t

⇒ q 2 - C ε = - C ε e - ( 1 / R 2 C ) t

⇒ q 2 = C ε ( 1 - e - ( 1 / R 2 C ) t )

Agora que temos q 2 fica fácil encontrar i 2 , já que:

i 2 = d q 2 d t

⇒ i 2 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item ( a ) .

Passo 3

Agora partiu resolver o item ( b ) .

Para encontrar essas correntes iniciais pedidas em ( b ) , basta pegar as fórmulas que acabamos de encontrar para i 1 e i 2 e fazer t = 0 .

Então vamos começar para i 1 , temos:

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

Fazendo t = 0 , temos:

i 1 0 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) 0 )

= ε R 1 ( 1 - e 0 )

⇒ i 1 0 = 0

Agora para i 2 temos que:

i 2 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

Fazendo t = 0 , temos:

i 2 0 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) 0

⇒ i 2 0 = ε R 2

Usando os valores conhecidos, temos:

i 2 0 = 48 5000

= 9,6 ⋅ 10 - 3   A

Passo 4

Agora partiu item ( c ) .

Esse tempo longo tempo mencionado no enunciado, pode ser interpretado como t → ∞ , a duração desse tempo muito longo também pode ser interpretada como varias constantes de tempo depois.

O que temos que fazer é ver como as fórmulas que encontramos no item ( a ) se comportam quando t vai para o infinito.

A fórmula i 1 dada por:

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

Então vamos fazer t → ∞ .

O argumento da exponencial quando t vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

e - ( R 1 / L ) t = 1 e ( R 1 / L ) t

Quando t → ∞ temos que e ( R 1 / L ) t → ∞ , logo:

1 e ( R 1 / L ) t → 0

Então i 1 fica da seguinte forma:

i 1 = ε R 1

Usando os valores conhecidos, temos:

i 1 = 48 25

= 1,92   A

Agora para i 2 temos a seguinte fórmula:

i 2 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

Então vamos fazer t → ∞ .

O argumento da exponencial quando t vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

e - ( 1 / R 2 C ) t = 1 e ( 1 / R 2 C ) t

Quando t → ∞ temos que e ( 1 / R 2 C ) t → ∞ , logo:

1 e ( 1 / R 2 C ) t → 0

Então i 2 fica da seguinte forma:

i 2 = 0

Passo 5

Vamos em direção a resolução do item ( d ) .

O item pede o tempo t 1 para que i 1 = i 2 , então vamos igualar as fórmulas dessas duas correntes, temos:

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

i 2 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

Igualando essas duas expressões temos:

ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t ) = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

⇒ ( 1 - e - ( R 1 / L ) t ) = R 1 R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

Agora usando a expansão da exponencial até o termo de primeira ordem, dada por:

e - x = 1 - x

Nossa expressão fica da seguinte forma:

1 - 1 + R 1 L t = R 1 R 2 1 - 1 R 2 C t

⇒ R 1 L t = R 1 R 2 - R 1 R 2 2 C t

⇒ R 1 L t + R 1 R 2 2 C t = R 1 R 2

⇒ t R 1 L + R 1 R 2 2 C = R 1 R 2

De uma forma mais simplificada temos:

t 1 L + 1 R 2 2 C = 1 R 2

Isolando t , temos:

t = 1 R 2 1 L + 1 R 2 2 C - 1

Substituindo os valores que temos ficamos com:

t = 1 5000 1 8 + 1 5000 2 ( 2 ⋅ 10 - 5 ) - 1

= 0,0002 0,125 + 0,002 - 1

Então temos que:

t = 1 , 57 ⋅ 10 - 3   s

Concluímos o item ( d ) .

Passo 6

Vamos em direção a resolução do item ( e ) .

Bem dizer esse item quer o valor de i 1 para o t que encontramos no item ( d ) . Então para achar i 1 basta substituir esse valor de t encontrada na fórmula que temos para i 1 .

Temos:

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

Substituindo todos valores que conhecemos, ficamos com:

⇒ i 1 = 48 25 ( 1 - e - ( 25 / 8 ) 1,57 ⋅ 10 - 3 )

= 1,92 ( 1 - e - 0,005 )

Então temos que:

i 1 = 9,57 ⋅ 10 - 3   A

Passo 7

Agora finalmente chegamos no último item, o item ( f ) .

E esse item quer o valor de t para quando temos metade da corrente final, mas qual o valor da corrente final?

Se você lembrar, nós já calculamos essa corrente meio que sem querer no item ( c ) , quando achamos os valores de i 1 e i 2 depois de um longo tempo, então como temos:

i = i 1 + i 2

Temos que o final é:

i = 1,92 + 0 = 1,92   A

Então metade dessa corrente é:

i m = 0,96   A

Agora vamos pegar a fórmula i 1 , dada por:

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

Isolar t e ver o valor que achamos quando fazemos i 1 = 0,96   A . Vamos lá!

i 1 R 1 ε = ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

⇒ e - ( R 1 / L ) t = 1 - i 1 R 1 ε

Aplicando l n nos dois lados, temos:

- R 1 L t = ln ⁡ 1 - i 1 R 1 ε

⇒ t = - L R 1 ln ⁡ 1 - i 1 R 1 ε

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

t = - 8 25 ln ⁡ 1 - ( 0,96 ) ( 25 ) 48

= - 0,32 ln ⁡ ( 0,5 )

Então temos que:

t = 0,22   s

Resposta

( a )

i 1 = ε R 1 ( 1 - e - ( R 1 / L ) t )

i 2 = ε R 2 e - ( 1 / R 2 C ) t

( b )

i 1 = 0

i 2 = 9,6 ⋅ 10 - 3   A

( c )

i 1 = 1,92   A

i 2 = 0

( d )

t = 1,57 ⋅ 10 - 3   s

( e )

i 1 = 9,57 ⋅ 10 - 3   A

( f )

t = 0,22   s

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