Enunciado

77. Um dispositivo para medir volume. Um tanque contendo um líquido possui espiras enroladas em torno dele, fazendo com que ele funcione como um indutor. O volume do líquido no interior do tanque pode ser medido usando-se o valor de sua indutância para determinar a altura do líquido. A indutância do tanque varia de um valor L 0 , correspondente a uma permeabilidade relativa igual a 1 , quando o tanque está vazio, até um valor L f , correspondente a uma permeabilidade relativa igual a K m (a permeabilidade relativa do líquido), quando o tanque está cheio. Um circuito eletrônico apropriado para determinar a indutância com cinco algarismos significativos e, portanto, é capaz de determinar a permeabilidade relativa efetiva da combinação do volume de ar com o volume do líquido na cavidade retangular do tanque. A seção reta retangular do tanque possui largura W e altura D (Figura 30.34 ). A altura atingida pelo líquido no tanque é igual a d . Despreze os efeitos de borda e suponha que a permeabilidade relativa do material do tanque seja desprezível. ( a ) Deduza uma expressão para d em função de L , a indutância correspondente a uma dada altura do líquido, L 0 ,   L f e D . ( b ) Qual é a indutância (com cinco algarismos significativos) para um tanque cheio até 1 4 , cheio até 1 2 , cheio até 3 4 e completamente cheio de oxigênio líquido? Considere L 0 = 0,63000   H . A suscetibilidade magnética do oxigênio líquido é χ m = 1,52 ⋅ 10 - 3 . ( c ) Repita o item ( b ) para o mercúrio. A suscetibilidade magnética do mercúrio é dada na Tabela 28.1 . ( d ) Para que tipo de material esse dispositivo de medição é mais prático?

Passo 1

Para esse problema, que por sinal é bem chatinho, temos de usar ao nosso favor o campo magnético produzido nesse indutor (podemos considerar como um solenoide), já que no campo magnético temos a presença de comprimentos e distancias, então uma forma de relacionar campo magnético e indutância é através da seguinte fórmula:

L = N Φ B i

Onde Φ B é o fluxo magnético dado por:

Φ B = A B

Mas nesse problema o fluxo total vai ser a soma de dois fluxos que provêm de dois campos magnéticos diferentes, um que passa pelo ar dentro do tanque e um que passa pelo líquido. O campo de um solenoide é dado por:

B = μ 0 N i L

A diferença entre esses dois campos vai ser a permeabilidade magnética de cada um, para o campo no ar teremos μ 0 e o campo no líquido teremos μ (ou μ = μ 0 K m ), então para a nossa situação temos:

B a r = μ 0 N i W                     B l i q = μ 0 K m N i W

Juntando tudo isso conseguimos encontrar o que é pedido em ( a ) .

Agora para o item ( b ) e ( c ) , basta encontramos uma fórmula que nos de L e no meio do caminho de ( a ) é capaz que achemos algo assim, já que vamos usar uma fórmula para indutância que mostrei mais acima.

Passo 2

Vamos então encontrar o fluxo para cada campo e depois somá-los, vamos começar para o campo que passa pelo ar, temos que:

Φ B a r = A a r B a r

Onde temos que área ocupada pelo ar é:

A a r = W ( D - d )

Assim:

Φ B a r = μ 0 N i W W ( D - d )

= μ 0 N i ( D - d )

Agora para o campo que passa pelo líquido, temos:

Φ B l i q = A l i q B l i q

Onde temos que área ocupada pelo líquido é:

A l i q = W d

Assim:

Φ B l i q = μ 0 K m N i W W d

= μ 0 K m N i d

Somando esses dois fluxos temos o fluxo total, então:

Φ B = μ 0 N i D - d + μ 0 K m N i d

⇒ Φ B = μ 0 N i [ D - d + K m d ]

Passo 3

Agora vamos encaixar esse fluxo na fórmula da indutância, temos:

L = N Φ B i

⇒ L = N i μ 0 N i [ D - d + K m d ]

⇒ L = μ 0 N 2 [ D - d + K m d ]

Agora é só isolar o d e quase encontramos o que o item ( a ) pediu, falta fazer com que apareça L 0 e L f .

Passo 4

Vamos então encontrar uma forma de aparecer o que falta na nossa expressão, o enunciado fala que L 0 é a indutância quando o tanque está vazio, L f quando está completamente cheio.

Podemos fazer o mesmo processo que fizemos no passo 3 , mas para cada um desses casos e ver o que encontramos.

Primeiro vamos fazer para L 0 , então nosso campo é:

B L 0 = μ 0 N i W

E o fluxo é dado por:

Φ B L 0 = D W μ 0 N i W

= μ 0 N i D

Então L 0 é dado por:

L 0 = N i μ 0 N i D

= μ 0 N 2 D

Agora vamos fazer a mesma coisa para L f , então nosso campo é:

B L 0 = μ 0 K m N i W

E o fluxo é dado por:

Φ B L f = D W μ 0 K m N i W

= μ 0 K m N i D

Então L 0 é dado por:

L f = N i μ 0 K m N i D

= μ 0 K m N 2 D

Agora voltando na expressão que tínhamos encontrado no passo 3 , temos:

L = μ 0 N 2 [ D - d + K m d ]

= μ 0 N 2 D - μ 0 N 2 d + μ 0 N 2 K m d

Então com o que encontramos nesse passo podemos escrever essa expressão assim:

L = L 0 - L 0 d D + L f d D

⇒ L = L 0 + L f - L 0 D d

Isolando d , ficamos com:

d = L - L 0 L f - L 0 D

Pronto encontramos o que o item ( a ) queria.

Passo 5

Agora vamos para o item ( b ) .

No meio do caminho para a resposta do ( a ) encontramos a seguinte expressão:

L = L 0 + L f - L 0 D d

Vai ser a parti dessa expressão que vamos encontrar os valores pedidos em ( b ) e em ( c ) ,mas tem um detalhe, não conhecemos nenhum valor de L f .

Por isso vamos mexer um pouco nessa expressão, assim:

L = L 0 + L f - L 0 D d

= L 0 + L f - L 0 d D

= L 0 + L 0 L f L 0 - 1 d D

A expressão L f / L 0 pode ser encontrada, já que:

L f = μ 0 K m N 2 D

L 0 = μ 0 N 2 D

Então:

L f L 0 = K m

Mas K m segundo a equação 28.31 do livro pode ser escrito como:

K m = χ m + 1

Então nossa expressão fica da seguinte forma:

L = L 0 + L 0 L f L 0 - 1 d D

⇒ L = L 0 + L 0 χ m + 1 - 1 d D

⇒ L = L 0 1 + χ m d D

Agora sim podemos achar os valores de L pedidos em ( b ) e ( c ) .

Passo 6

Agora vamos encontrar os valores de L , primeiro vamos começar com o oxigênio líquido, onde χ m = 1,52 ⋅ 10 - 3 . Vamos lá!

d = D / 4 :

L = 0,63000 1 + 1,52 ⋅ 10 - 3 1 4

⇒ L = 0,63024   H

d = D / 2 :

L = 0,63000 1 + 1,52 ⋅ 10 - 3 1 2

⇒ L = 0,630 48   H

d = 3 D / 4 :

L = 0,63000 1 + 1,52 ⋅ 10 - 3 3 4

⇒ L = 0,630 72   H

d = D :

L = 0,63000 1 + 1,52 ⋅ 10 - 3 1

⇒ L = 0,630 96   H

Passo 7

Agora vamos encontrar os valores de L para o mercúrio, onde segundo a tabela 28.1 temos que χ m = - 2,9 ⋅ 10 - 5 . Vamos lá!

d = D / 4 :

L = 0,63000 1 - 2,9 ⋅ 10 - 5 1 4

⇒ L = 0,6 2999   H

d = D / 2 :

L = 0,63000 1 - 2,9 ⋅ 10 - 5 1 2

⇒ L = 0,6 2999   H

d = 3 D / 4 :

L = 0,63000 1 - 2,9 ⋅ 10 - 5 3 4

⇒ L = 0,6 2998   H

d = D :

L = 0,63000 1 - 2,9 ⋅ 10 - 5 1

⇒ L = 0,6 2998   H

Como podemos ver comparando os resultados do mercúrio com o oxigênio líquido, o medidor de volume é muito melhor para o oxigênio líquido do que o mercúrio, já que a diferença nos valores do oxigênio líquido é bem mais fácil de detectar, do que do mercúrio.

Resposta

( a )

d = L - L 0 L f - L 0 D

( b )

d = D / 4

L = 0,63024   H

d = D / 2

L = 0,63048   H

d = 3 D / 4

L = 0,63072   H

d = D

L = 0,63096   H

( c )

d = D / 4

L = 0,6 2999   H

d = D / 2

L = 0,6 2999   H

d = 3 D / 4

L = 0,6 2998   H

d = D

L = 0,6 2998   H

( d )

A medição para o oxigênio líquido é muito melhor que para o mercúrio.

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