Enunciado

82- Torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético não uniforme. Na Seção 27.7 , a expressão do torque sobre uma espira de corrente foi deduzida supondo que o campo magnético B → fosse uniforme. Porém, o que ocorre quando B → não é uniforme? A figura 27.70 mostra uma espira quadrada que está contida no plano x y . A espira possui vértices nos pontos 0,0 ,   0 , L , ( L , 0 ) e ( L , L ) e conduz uma corrente I no sentido horário.

O campo magnético não possui componente z , mas possui componentes em ambas as direções y e z : B → = B 0 y L i + B 0 x L j , em que B 0 é uma constante positiva.

( a ) Faça um desenho das linhas do campo magnético no plano x y .

( b ) Calcule o módulo, a direção e o sentido da força magnética exercida sobre cada um dos lados da espira, integrando a Equação ( 27.20 ) .

( c ) Se a espira pode girar livremente em torno do eixo O x , determine o módulo, a direção e o sentido do torque magnético sobre a espira

( d ) Repita o item ( c ) para o caso no qual a espira pode girar livremente em torno do eixo O y

( e ) A Equação ( 27.26 ) , τ → = μ → × B → , fornece uma descrição apropriada para o torque sobre a espira? Por quê?

Passo 1

Utilizando o Geogebra nós temos a seguinte representação vetorial:

Passo 2

Agora vamos dar nome aos lados e fazer a integral da força magnética nesses lados (a integral é necessárias pois ela varia com y e z portanto tendo que fazer a integral em todo o seu espaço):

F = ∫ I d l → × B →

Pois vem, a força no lado 1 será:

F 1 → = ∫ 0 L I d y j × B 0 y L i + B 0 x L j

F 1 → = I ∫ 0 L - B 0 y d y L k

F 1 → = - B 0 I L y 2 2 0 L k = - B 0 I L 2 k

Agora no lado 2 temos:

F 2 → = ∫ 0 L I d x i × B 0 y L i + B 0 x L j

F 2 → = ∫ 0 L B 0 x d x L k

F 2 → = I B 0 L 2 k

Agora para o lado 3 :

F 3 → = ∫ 0 L I - d y j × B 0 y L i + B 0 x L j

Pois a corrente flui de cima para baixo.

F 3 → = I ∫ 0 L B 0 y d y L k

F 3 → = B 0 I L 2 k

Já a força no lado 4 será:

F 4 → = ∫ 0 L I - d x i × B 0 y L i + B 0 x L j

F 4 → = - I ∫ 0 L B 0 x d x L k = - B 0 L I 2

Passo 3

Sendo livre para girar no eixo O x então as forças nos elementos 1 e 3 se cancelam (a do 4 naturalmente não gera torque nenhum) então só sobra a força no elemento 2 com um raio de giro igual a r → = L j , logo:

τ → = r → × F → = L j × I B 0 L 2 k = B 0 I L 2 2 i

Onde L 2 é a área da espira.

Passo 4

Já na letra d temos que a espira gira em O y com isso temos que as forças em 2 e 4 se cancelam, gerando momento somente a força em 3 , em um raio de giro igual a L i , portanto o torque será:

τ → = L i × B 0 I L 2 k = - B 0 I L 2 2 j

Passo 5

Como o campo magnético não é constante então o torque τ → = μ → × B → não é apropriado.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   F 1 → = - B 0 I L 2 k

F 2 → = I B 0 L 2 k

F 3 → = B 0 I L 2 k

F 4 → = - B 0 I L 2 k

c ) τ → = B 0 I L 2 2 i

d ) τ → = - B 0 I L 2 2 j  

e )   p a s s o   5

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