Enunciado

81- Força sobre uma espira de corrente em um campo magnético não uniforme. Mostramos na Seção 27.7 que é nula a força resultante sobre uma espira de corrente em um campo magnético uniforme. Porém, o que ocorre quando B → não é uniforme? A figura 27.70 mostra uma espira quadrada que está contida no plano x y . A espira possui vértices nos pontos 0,0 ,   0 , L , ( L , 0 ) e ( L , L ) e conduz uma corrente I no sentido horário.

O campo magnético não possui componente x , mas possui componentes em ambas as direções y e z : B → = B 0 z L j + B 0 y L k , em que B 0 é uma constante positiva.

( a ) Faça um desenho das linhas do campo magnético no plano y z .

( b ) Calcule o módulo, a direção e o sentido da força magnética exercida sobre cada um dos lados da espira, integrando a Equação ( 27.20 ) .

( c ) Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante sobre a espira.

Passo 1

Utilizando o geogebra nós temos o seguinte desenho das linhas de campo magnética:

Onde a reta azul é o eixo z e a reta verde o eixo y .

Passo 2

Agora vamos dar nome aos lados e fazer a integral da força magnética nesses lados (a integral é necessárias pois ela varia com y e z portanto tendo que fazer a integral em todo o seu espaço):

F = ∫ I d l → × B →

Pois vem, a força no lado 1 será:

F 1 → = ∫ 0 L I d y j × B 0 L z j + B 0 L y k

F 1 → = I ∫ 0 L B 0 y d y L i

F 1 → = B 0 I L y 2 2 0 L = B 0 I L 2 i

Agora no lado 2 temos:

F 2 → = ∫ 0 L I d x i × B 0 L z j + B 0 L y k

F 2 → = ∫ 0 L B 0 z L d x k - B 0 y d x L j

Porém não temos nenhum comprimento em z além de y ser todo igual a L nesse lado da espira então:

F 2 → = - I B 0 L j

Agora para o lado 3 :

F 3 → = ∫ 0 L I - d y j × B 0 L z j + B 0 L y k

Pois a corrente flui de cima para baixo.

F 3 → = - I ∫ 0 L B 0 y d y L i

F 3 → = - I B 0 L y 2 0 L i = - B 0 I L 2 i

Já a força no lado 4 será:

F 4 → = ∫ 0 L I - d x i × B 0 L z j + B 0 L y k

F 4 → = - I ∫ 0 L B 0 z d x L k - B 0 y d x L j

Só que z = 0 e y = 0 em toda a espira então F 4 = 0

Passo 3

A resultante das forças será:

F r → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + F 4 →

Então:

F r → = B 0 I L 2 i - I B 0 L j - B 0 I L 2 i + 0

F r → = - I B 0 L j

Sentido negativo de y .

Resposta

b )   F 1 → = B 0 I L 2 i

F 2 → = - I B 0 L j

F 3 → = - B 0 I L 2 i

F 4 → = 0

c )   F r → = - I B 0 L j

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