Enunciado

86. Molécula diatômica. Dois átomos idênticos de uma molécula diatômica vibram como osciladores harmônicos. Contudo, o centro de massa situado na metade da distância entre os átomos permanece em repouso. a ) Mostre que em qualquer instante os momentos lineares dos átomos são dados por p → e - p → . b ) Mostre que a energia cinética K dos dois átomos em qualquer instante é igual à energia cinética de um único objeto de massa m / 2 com um momento linear de módulo igual a p . (Use K = p 2 / 2 m .) Esse resultado mostra por que usamos m / 2 na expressão de f no Exemplo 13.7 (Seção 13.4 ). c ) Se os átomos não forem idênticos, mas possuírem massa m 1 e m 2 , mostre que o resultado da parte ( a ) ainda permanece válido e na parte ( b ) a massa do único objeto é dada por m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) . A grandeza m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) denomina-se massa reduzida do sistema.

Passo 1

De primeira já podemos responder o item ( a ) , para respondê-lo basta prestar atenção em um pequeno detalhe do enunciado, quando ele fala que o centro de massa está em repouso, sendo assim o momento total deve ser zero, assim os vetores de momento devem ter o mesmo módulo, mas direções opostas.

Para responder o item ( b ) vamos usar a fórmula dada pelo enunciado, que é:

K = p 2 2 m

Assim os dois átomos têm essa energia, o enunciado quer que provemos que a energia desses dois átomos juntos é igual a energia de um único objeto com massa m / 2 .

O argumento de ( a ) ainda serve, pois para o centro de massa parecer em repouso os momentos devem ser os mesmos independentes da massa.

Para mostrar a segunda parte do item, basta fazer o mesmo processo que para o item ( b ) , só que para um objeto com massa m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) .

Passo 2

Agora vamos mostrar o que é pedido no item ( b ) .

A energia cinética para os dois átomos juntos, é dada pela soma da energia de cada átomo assim a energia cinética total é:

K T = 2 p 2 2 m

⇒ K T = p 2 m

O item ( b ) quer que mostremos que isso é igual a energia de um objeto com massa m / 2 , assim:

K = p 2 2 m 2

⇒ K = p 2 m

Logo temos que:

K T = K

Passo 3

Agora vamos mostrar o que é pedido no item ( c ) .

A energia cinética para os dois átomos juntos, é dada pela soma da energia de cada átomo assim a energia cinética total é:

K T = p 2 2 m 1 + p 2 2 m 2

⇒ K T = p 2 2 1 m 1 + 1 m 2

Assim:

K T = p 2 2 m 1 + m 2 m 1 m 2

O item ( c ) quer que mostremos que isso é igual a energia de um objeto com massa m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) , assim:

K = p 2 2 m 1 m 2 m 1 + m 2

⇒ K = p 2 2 m 1 + m 2 m 1 m 2

Logo temos que:

K T = K

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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