Enunciado

88. Um brinquedo comum de parque de diversões, ilustrado na FIGURA PD4.88, é capaz de lançar uma bola de gude em direção a uma pequena xícara. A bolinha, inicialmente em repouso sobre um grampo, é posicionada logo acima do topo de uma roda que está presa a uma mola espiral enrolada. Ao ser liberada, a roda passa a girar em sentido horário e com aceleração angular constante, abrindo o grampo e liberando a bola de gude após completar de revolução. Que aceleração angular é necessária para que a bolinha aterrisse dentro da xícara?

Passo 1

Opa! Aqui vamos nós pro nosso último problema desse capítulo!

Olha só! A nossa bolinha segue a seguinte trajetória descrita na figura abaixo...

E por essa figura e o que tiramos do enunciado, sabemos que...

r = 20   c m

x i = - 20 sen ⁡ ϕ   c m

y i = 20 cos ⁡ ϕ   c m

x f = 100   c m  

y f = 0   c m

Onde " i " é a notação pra inicial e " f " é a notação pra final.

Quanto às acelerações, temos apenas a presença da gravidade atuando. Desse modo,

a x = 0

a y = - g

Já quanto às velocidades tanto angulares como linear...

v i x = v i cos ⁡ θ

v i y = v i sen ⁡ θ

ω i = 0

ω f = v t R = v i R

E por último, em relação à variação de ângulo ∆ θ ...

∆ θ = 11 12 ⋅ ( 2 π   r a d )

Pronto! Temos todos os dados que precisávamos.

Passo 2

Agora vamos começar nossa resolução!

A velocidade inicial do projétil é a velocidade tangencial no ponto de liberação e a direção é tangencial à roda. A estratégia é encontrar a velocidade inicial v i = ω f r , e em seguida, usar ω f para encontrar a aceleração angular necessária α

Como o ponto de liberação está em um ângulo de...

∆ θ = 11 12 ⋅ ( 2 π   r a d )  

∆ θ = 22 π 12 r a d

∆ θ = 11 π 6 r a d

∆ θ = 11 π 6 r a d = 11 6 ⋅ 180 ° = 330 °

Então, o valor de ϕ vai ser...

ϕ = 360 ° - 330 ° = 30 °

No sistema de coordenadas da figura, obtemos assim, que:

x i = - 20 sen ⁡ ϕ   c m

x i = - 20 sen ⁡ 30 °   c m

x i = - 10   c m

y i = 20 cos ⁡ ϕ   c m

y i = 20 cos ⁡ 30 °   c m

y i = 17,3   c m

Passo 3

Quanto ao ângulo de lançamento ϕ ... Este é identificado calculando os ângulos no triângulo retângulo destacado na figura e percebendo que a velocidade inicial é tangencial ao círculo. Assim, o ângulo de lançamento também é ϕ .

Desse modo, vamos usar a Equação 4.17 para a posição de um projétil em função do tempo, e usaremos o fato de que o tempo para percorrer a distância horizontal até o copo é o mesmo para o movimento vertical. Para isso... Primeiro, é importante encontrar o tempo de vôo necessário para a bola atingir o copo com o movimento horizontal;

s = s 0 + v i x t

100   c m = - 10   c m + v i cos ⁡ 30 ° t

v i cos ⁡ 30 ° t = 110

t = 110 v i cos ⁡ 30 °

t = 127 v i

Substitundo esse tempo na equação do movimento vertical...

h = h 0 + v i y t - 1 2 g t ²

0   c m = 17,3   c m + v i sen ⁡ 30 ° ⋅ 127 v i - 1 2 g 127 v i 2

- 1 2 g 127 v i 2 = - 17,3 - 63,5  

1 2 g 127 v i 2 = - 17,3 - 63,5

v i = ( 127   c m ) g 2 ⋅ ( 80,8   c m )

v i = 2,78   m / s

E para obter a velocidade angular inicial, basta dividir essa velocidade pelo raio...

ω f = v i r = 2,78   m / s 0,2   m

ω f = 2,78   m / s 0,2   m

ω f = 13,9   r a d / s

Passo 4

Pra finalizar, basta usar a equação de T o r r i c e l i sabendo que a velocidade angular inicial é nula...

ω f 2 = ω i 2 + 2 α ∆ θ

α = ω f 2 - ω i 2 2 ∆ θ

α = ( 13,9   r a d / s ) 2 2 ⋅ 22 12 ⋅ 2 π   r a d

α = 16,8   r a d / s ²

Essa aceleração angular na verdade equivale à...

α = 16,8   r a d / s ² = 16,8 2 π   r e v / s ²

α ≈ 2,7   r e v / s ²

E pronto! Obtemos nossa resposta! Essa era a aceleração angular necessária!

Resposta

α ≈ 2,7   r e v / s ²

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