Enunciado

88. Dois cilindros homogêneos de raio R e massa total M são conectados ao longo do seu eixo comum por uma barra leve e curta, e estão em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante é k possui uma extremidade presa na mesa por uma braçadeira e sua outra extremidade é ligada a um anel sem atrito no centro de massa dos cilindros (Figura 13.38 ). Os cilindros são puxados para a esquerda esticando a mola até uma distância x , e a seguir são libertados. Existe entre o topo da mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os cilindros rolarem sem deslizar à medida que eles oscilam na extremidade da mola. Mostre que o movimento do centro de massa dos cilindros é um M H S , e calcule o seu período em termos de M e de k . (Sugestão: O movimento é harmônico simples quando a aceleração a x e o deslocamento x são relacionados mediante a Equação ( 13.8 ) e o período é então dado por T = 2 π / ω . Aplique as relações ∑ τ z = I C M α z e ∑ F x = M a C M x para os cilindros a fim de obter uma relação entre a C M x e o deslocamento x dos cilindros de sua posição de equilíbrio.)

Passo 1

Quando o enunciado fala que temos atrito o suficiente para que o cilindro role sem deslizar, querendo ou não temos uma força de atrito no cilindro que acaba causando um torque, então utilizando a equação fornecida pelo enunciado, temos:

∑ τ z = I C M α z

Temos que troque é força vezes distância até o centro de rotação, no nosso caso a força é a força de atrito e a distância é o raio do cilindro, o momento de inércia de um cilindro em relação ao eixo z que passa pelo comprimento do cilindro é dado por I C M = 1 2 M R 2 , então:

f a R = 1 2 M R 2 α z

Isolando a força de atrito, temos:

f a = 1 2 M R α

Mas vamos lembrar um pouco do que conhecemos de movimento circular, nesse movimento podemos expressar a aceleração do centro de massa, em termos do raio da trajetória e da aceleração angular, assim:

a C M = R α

Assim:

f a = 1 2 M a C M

Passo 2

Agora vamos utilizar a outra fórmula fornecida pelo enunciado que é:

∑ F x = M a C M x

Que nada mais é que a segunda lei de Newton para a direção x .

Na direção x , temos a força de atrito atuando para a esquerda quando o cilindro está indo para a direita, e temos a força elástica atuando para a direita, assim a equação acima fica:

f a - k x = - M a C M

Você deve ter se perguntado por que o lado direito ficou negativo, ele tomou essa forma pois como o cilindro está indo para a direita, por conveniência adotamos o lado direito como a posição negativa, então o cilindro tem uma força resultante negativa.

Continuando, vamos substituir a expressão que encontramos para a força de atrito, e depois isolar a aceleração, assim:

1 2 M a C M - k x = - M a C M

⇒ 1 2 M a C M + M a C M = k x

⇒ 3 2 M a C M = k x

Assim, temos que:

a C M = 2 3 k M x

Passo 3

Comparando com o que encontramos com a equação 13.8 , que é:

a x = - ω 2 x

Temos que:

ω 2 = 2 3 k M

O sinal negativo que temos em uma equação e na outra não, vem do fato de x e a x terem direções opostas.

Assim, temos que o movimento do centro de massa é um M H S .

Temos também que:

ω = 2 3 k M

Lembrando que o período é dado por:

T = 2 π ω

Temos que:

T = 2 π 3 2 M k

Resposta

O centro de massa executa um M H S e

T = 2 π 3 2 M k

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