Enunciado

84. Para um certo oscilador, a força resultante sobre um corpo de massa m é dada por F x = - c x 3 . a ) Qual é a função energia potencial desse oscilador se considerarmos U = 0 para x = 0 ? b ) Um quarto do período é o tempo necessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A . Calcule esse tempo e, portanto, o período. [Sugestão: Comece com a Equação ( 13.20 ) modificada para incluir a função energia potencial obtida na parte ( a ) e explicite v x em função de x . A seguir substitua v x por d x / d t . Isole a variável passando todos os fatores que contenham x para um lado e todos os fatores que contenham t para o outro, de modo que os dois lados possam ser integrados. Na integral envolvendo x , faça a mudança de variável u = x / A . A equação resultante pode ser calculada usando-se programas de computador e o resultado obtido é ∫ 0 1 d u / 1 - u 2 = 1,31 .] c ) De a cordo com o resultado obtido na parte ( b ) , verifique se o período depende da amplitude A do movimento. Esse movimento constitui um M H S ?

Passo 1

Bem, para encontramos a energia potencial que provém da ação de uma certa força temos que integrar essa força, assim:

U = - ∫ F   d x

Para resolver o item ( b ) vamos seguir exatamente a sugestão do enunciado. Temos que a equação 13.20 é a seguinte:

1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2 = c o n s t a n t e

Aplicando isso para o nosso caso, temos que a energia mecânica em um ponto qualquer é igual a energia no ponto x = A , no primeiro ponto temos energia cinética e potencial, e no segundo temos apenas energia potencial já que na amplitude a velocidade é igual a zero.

Tendo essa fórmula vamos seguir os passos da sugestão e na hora de integrar, vamos integrar a parte referente x de 0 até A e a parte de t de 0 até T / 4 , que é o intervalo no qual o enunciado quer saber o valor do período.

Para responder o item ( c ) precisamos encontrar o que é pedido no item ( b ) , mas adiantando, se o período depender da amplitude não teremos um M H S , pois nesse tipo de movimento o período não depende da amplitude.

Passo 2

Agora vamos encontrar a energia potencial referente a força F = - c x 3 da forma como foi mostrado no passo 1 . Temos:

U = - ∫ F   d x

⇒ U = - ∫ - c x 3   d x

⇒ U = c x 4 4 + C

Onde se é uma constante de integração, mas que podemos achar o valor com a informação do enunciado de que em x = 0 temos U = 0 , assim:

0 = C

Logo, temos:

U = c x 4 4

Passo 3

Agora que temos uma fórmula para energia potencial podemos partir para resolução do item ( b ) , no passo 1 discutimos sobre a conservação de energia nessa situação, assim ficamos com:

1 2 m v x 2 + c x 4 4 = c A 4 4

Isolando v x , temos:

v x = c 2 m A 4 - x 4

Agora vamos chamar v x = d x / d t , ficamos com:

d x d t = c 2 m A 4 - x 4

Agora vamos deixar tudo que depende de x do lado esquerdo e deixar tudo que depende t do lado direito, temos:

d x A 4 - x 4 = c 2 m d t

Integrando os dois lados, referente a x de 0 a A e referente a t de 0 a T / 4 , então:

∫ 0 A d x A 4 - x 4 = ∫ 0 T 4 c 2 m d t

⇒ ∫ 0 A d x A 4 - x 4 = c 2 m T 4

Para integrar o termo referente a x vamos fazer como o enunciado sugere, fazendo u = x / A , assim nossa integral fica da seguinte forma:

1 A ∫ 0 1 d u 1 - u 2

Mas não se desespere, o enunciado nos deu a solução dessa integral, temos:

∫ 0 1 d u 1 - u 2 = 1,31

Assim, temos:

1,31 A = c 2 m T 4

Agora vamos isolar o período T na expressão acima, assim:

T = 5 , 2 4 A c 2 m

Como podemos ver, o período T depende da amplitude, logo esse movimento não é um M H S .

Resposta

( a )

U = c x 4 4

( b )

T = 5,24 A c 2 m

( c )

O período T depende da amplitude, logo esse movimento não é um M H S .

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