Enunciado

87. Uma expressão aproximada para a energia potencial de uma molécula de K C L é U = A [ ( R 0 7 / 8 r 8 ) - 1 / r ] , onde R 0 = 2,67 * 10 - 10   m e A = 2,31 * 10 - 28   J ⋅ m . Usando essa aproximação: a ) Mostre que o componente radial da força sobre cada átomo é dado por F r = A [ ( R 0 7 / r 9 ) - 1 / r 2 ] . b ) Mostre que R 0 é a separação de equilíbrio. c ) Ache a energia potencial mínima. d ) Faça r = R 0 + x e use os dois primeiros termos do desenvolvimento do teorema binomial na Equação ( 13.28 ) para demonstrar que F r = - ( 7 A / R 0 3 ) x , de modo que a constante da força é dada por k = 7 A / R 0 3 . e ) Como o átomo de K e o átomo de C l vibram em sentidos opostos em lados opostos do centro de massa da molécula, m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) = 3,06 * 10 - 26   k g é a massa que você deve usar para calcular a frequência. (Veja o Problema 13.86 .) Calcule a frequência das oscilações com amplitudes pequenas.

Passo 1

Para encontrar a componente radial da força sobre os átomos, vamos utilizar a energia potencial entre os átomos fornecida pelo enunciado, tendo essa energia potencial temos que a força é dada por:

F r = - d U d r

Então basta derivar a expressão da energia potencial em função de r .

Para mostrar que R 0 é a separação de equilíbrio basta fazer F r = 0 , já que o sistema em equilíbrio a força resultante é zero, e vermos se R 0 é o único valor que r pode assumir para que essa condição da força ser nula seja verdadeira.

Para encontrar a energia potencial mínima, primeiro temos que saber o ponto que ela é mínima, para isso vamos usar o que sabemos de cálculo.

Se derivamos uma função e encontramos o ponto no qual ela zera, esse ponto será um ponto de máximo ou mínimo, para verificar se é máximo ou mínimo, basta derivar mais uma vez e substituir esse ponto na expressão que chegamos e verificar o sinal dela se for negativo temos um ponto de máximo, se for positivo temos um ponto de mínimo.

Para resolver o item ( d ) , vamos fazer a substituição sugerida e depois fazer a expansão que o enunciado fala para fazermos e depois é só manipulação matemática para chegar no que o enunciado quer.

Para resolvermos o item ( e ) temos que usar fórmula da frequência de um M H S que é dada por:

f = 1 2 π k m

Tendo isso basta substituir a massa reduzida que o enunciado fornece e k pela expressão que chegamos no item anterior, aí só calcular o valor da frequência.

Passo 2

Vamos encontrar a componente radial da força da forma como foi proposta no passo 1 , temos:

F r = - d U d r

⇒ F r = - d d r A R 0 7 8 r 8 - 1 r

Assim, temos que:

F r = A R 0 7 r 9 - 1 r 2

Passo 3

Agora vamos fazer F r = 0 e ver se r = R 0 satisfaz isso, assim:

A R 0 7 r 9 - 1 r 2 = 0

⇒ R 0 7 r 9 - 1 r 2 = 0

⇒ R 0 7 r 9 = 1 r 2

Assim:

R 0 7 = r 7

Então, temos que:

⇒ R 0 = r

Logo R 0 é uma posição de equilíbrio do sistema.

Passo 4

Agora para achar o valor da energia mínima vamos derivar a função da energia potencial duas vezes, sendo que já derivamos uma vez para achar a força F r só que tinha um sinal negativo anterior a derivada, então é só retirar esse sinal aí temos a expressão correta da primeira derivada, então basta derivar essa expressão mais uma vez.

Pelo item anterior verificamos que R 0 zera F r que é a primeira derivada de U , então basta verificar se R 0 faz com que a segunda derivada seja negativa ou positiva.

Vamos começar derivando então, temos:

d U d r = A - R 0 7 r 9 + 1 r 2

Assim:

d 2 U d r 2 = A 9 R 0 7 r 10 - 2 r 3

Fazendo r = R 0 , temos:

d 2 U d r 2 = A 9 R 0 3 - 2 R 0 3

= A 7 R 0 3

Logo R 0 é um ponto de mínimo, sendo assim, temos:

U R 0 = A R 0 7 8 R 0 8 - 1 R 0

⇒ U R 0 = A 1 8 R 0 - 1 R 0

Temos então que:

U R 0 = - 7 A 8 R 0

Tendo os valores de A e R 0 fornecidos pelo enunciado, ficamos com:

U R 0 = - 7,57 * 10 - 19   J

Passo 5

Inicialmente temos a seguinte fórmula para a força radial, que é:

F r = A R 0 7 r 9 - 1 r 2

Fazendo a substituição r = R 0 + x , temos:

F r = A R 0 7 R 0 + x 9 - 1 R 0 + x 2

Isolando R 0 no denominador, temos:

F r = A R 0 7 R 0 9 1 + x / R 0 9 - 1 R 0 2 1 + x / R 0 2

⇒ F r = A R 0 2 1 + x / R 0 - 9 - 1 + x / R 0 - 2

Tendo que x / R 0 seja muito menor do que 1 , podemos fazer a expansão sugerida pelo enunciado usando os dois primeiros termos da expansão, assim:

F r = A R 0 2 1 - 9 x R 0 - 1 - 2 x R 0

= A R 0 2 - 9 x R 0 + 2 x R 0

Logo, temos que:

F r = - 7 A x R 0 3

Comparando com F = - k x , temos que:

k = 7 A R 0 3

Passo 6

Agora só nos resta usar a fórmula da frequência mostrada no passo 1 , para achar a frequência do movimento, temos que:

f = 1 2 π k m

Sabendo que m = 3,06 * 10 - 26   k g e que k = 7 A / R 0 3 , então temos que:

f = 1 2 π 7 A R 0 3 m

⇒ f = 1 2 π 7 A R 0 3 m

Usando o R 0 e o A fornecido pelo enunciado, ficamos com:

f = 1 2 π 7 ( 2,31 * 10 - 28 ) 2,67 * 10 - 10 3 ( 3,06 * 10 - 26 )

Temos então que:

f = 8,39 * 10 12   H z

Resposta

( a )

F r = A R 0 7 r 9 - 1 r 2

( b )

A posição de equilíbrio é R 0

( c )

U R 0 = - 7,57 * 10 - 19   J

( d )

F r = - 7 A x R 0 3

Comparando com F = - k x , temos que:

k = 7 A R 0 3

( e )

f = 8,39 * 10 12   H z

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