Enunciado

Quatro pequenas esferas, todas consideradas massas puntiformes com massa de 0,200   k g , estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado igual a 0,400   m e conectadas por hastes leves (Figura 9.29 ). Calcule o momento de inércia do sistema em relação a um eixo:

a) Perpendicular ao quadrado e passando pelo seu centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);

b) Cortando ao meio dois lados opostos do quadrado (um eixo ao longo da linha A B indicada na figura);

c) Passando pelo centro da esfera superior da esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através do ponto O .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia do sistema em relação a um eixo para diferentes configurações.

Nós sabemos que o momento de inércia I de um corpo de massa m que está a uma distância r do eixo de rotação é dado por:

I = m r 2

Como temos quatro massas iguais, precisamos apenas determinar a distância de cada uma ao eixo e somar os quatro momentos de inércia. Caso o eixo esteja em cima de uma das massas, ela não contabiliza para o momento de inércia, já que a distância dela até o eixo seria zero =D.

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Letra a)

Para a primeira configuração, temos que o eixo de rotação passa pelo centro do quadrado. Já que as quatro massas estão nos vértices, a distância delas até o eixo é igual para todas e vale metade da diagonal do quadrado, olha só:

O lado do quadrado é 0,4   m , e a diagonal d em função do lado l é:

d = l 2

Então a metade da diagonal (que é nossa distância r ) é:

r = d 2

r = l 2 2

Substituindo l = 0,4   m , temos:

r = 0,4 2 2

r = 0,28 m

Passo 3

Agora que sabemos a distância até o eixo de cada massa, podemos calcular o momento de inércia desse conjunto. As quatro massas contribuem, então o momento de inércia é a soma dos momentos de inércia de cada uma, ou seja:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2

I = 4 m r 2

Todas as massas são iguais e valem 0,2   k g . A distância também é igual e vale 0,28   m . Agora é só substituir:

I = 4 m r 2 = 4 . 0,2 . 0,28 2 = 0,063 k g   m 2

Tranquilo? A ideia para resolver as outras configurações é a mesma: identificar a distância de cada massa ao eixo e somar todos os momentos de inércia. Vamos pra próxima configuração?

Passo 4

Letra b)

Agora temos que o eixo passa através da linha A B do desenho. Como o eixo não passa por nenhuma das massas, as quatro vão contribuir novamente para o momento de inércia total. Agora vamos fazer um desenho para ver qual é a distância de cada massa ao eixo:

Aqui pode surgir uma dúvida: qual é a distância até o eixo que eu uso? Eu respondo pra você: é sempre a menor! Nesse caso, todas as distâncias são novamente iguais, mas agora valem metade do lado. Como o lado do quadrado é:

l = 0,4 m

A distância r será:

r = l 2

r =   0,2   m

Passo 5

Então podemos calcular o momento de inércia total:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2

Como novamente todas as cargas tem o mesmo peso e a distância é a mesma para o eixo igual a r :

I = 4 m r 2

I = 4 ∙ 0,2 . 0,2 2

I = 0,032   k g   m 2

Beleza? Vamos pra última configuração?

Passo 6

Letra c)

Pra essa última configuração o eixo passa por duas das massas, então essas duas não vão contribuir para o cálculo do momento de inércia total.

Vou desenhar o eixo em verde pra você ver melhor quais massas entram para o cálculo. O eixo passa no vértice superior esquerdo, centro O e vértice inferior direito:

Viu como apenas as duas outras massas vão contribuir? A massa do canto superior direito e inferior esquerdo. E a distância até o eixo? Bom, ela vai ser metade da diagonal, como indiquei com as setas no desenho =)

O valor já conhecemos do passo 2 e vale:

r = d 2 = l 2 2

r = 0,4 2 2

r = 0,28 m

As massas possuem massas iguais e valem 0,2   k g , mas atenção, são só duas que vão contribuir! As massas que estão sobre o eixo não somam para o cálculo do momento de inércia!

Passo 7

Então agora é só calcular! Vamos lá?

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2

Como as massas e as distâncias são iguais, temos:

I = 2 m r 2

I = 2 0,2 0,28 2

I = 0,031 k g   m 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   0,063 k g   m 2

b ) 0,032 k g   m 2

c ) 0,031 k g   m 2

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